分治法求两点间最短距离->HDU5721

分治法求最近点对的距离：

主要思想就是先把n个点按x坐标排序，然后求左边n/2个和右边n/2个的最近距离，最后合并。

合并过程：

首先，假设点是n个，编号为1到n。我们要分治求，则找一个中间的编号m，先求出1到m点的最近距离设为d1，还有m+1到n的最近距离设为d2。这里的点需要按x坐标的顺序排好，并且假设这些点中，没有2点在同一个位置。（若有，则直接最小距离为0了）。

然后，令d为d1, d2中较小的那个点。如果说最近点对中的两点都在1-m集合中，或者m+1到n集合中，则d就是最小距离了。但是还有可能的是最近点对中的两点分属这两个集合，所以我们必须先检测一下这种情况是否会存在，若存在，则把这个最近点对的距离记录下来，去更新d。这样我们就可以得道最小的距离d了。

关键是要去检测最近点对，理论上每个点都要和对面集合的点匹配一次，那效率还是不能满足我们的要求。所以这里要优化。怎么优化呢？考虑一下，假如以我们所选的分割点m为界，如果某一点的横坐标到点m的横坐标的绝对值超过d1并且超过d2，那么这个点到m点的距离必然超过d1和d2中的小者，所以这个点到对方集合的任意点的距离必然不是所有点中最小的。

所以我们先把在m为界左右一个范围内的点全部筛选出来，放到一个集合里。

筛选好以后，当然可以把这些点两两求距离去更新d了，不过这样还是很慢，万一满足条件的点很多呢。这里还得继续优化。首先把这些点按y坐标排序。假设排序好以后有p个点，编号为1到p。那么我们用1号去和2到p号的点求一下距离，然后2号和3到p号的点求一下距离。。。还没完，因为这样比，求的次数还是O(p^2), 所以其实和没优化没区别。

假设有一个点q,坐标是xq, yq。可以证明在以q为底边中点，长为2d，宽为d的矩形区域内不会有超过6个点。具体证明过程可以参看算法导论。

利用这个结论我们就可以来继续优化比较的过程了。刚刚我们是用用1号点去和2到p号的点求一下距离，我们知道以1号点构造图中矩形内，不会有超过6个点存在。但是我们又不能直接从1号求到6号，因为这里的p个点是按y坐标排序而不是按距离排序的，有可能在y坐标上，前10个点距离1号点都很近，但是前6个点的x坐标很远，而第10个点的x坐标和1号点的x坐标很进，这样第10个点到1号点的距离反而更近。

那么我们怎么利用这个结论呢？应该这样，假设1号点和2到p号点比较，由于y坐标排序的缘故，假设第p个点的y坐标距离1号点的y坐标大于当前能求出的最小值，那么这点以及这点后的所有点距离1号点的距离必然大于当前已经获得的最小值，所以直接不用比较后面的了。

又因为满足比较条件的点很少，不会超过6个，所以这里可以看成O(1)的效率。那么整个算法的效率大概是在O(nlogn)，非常快！

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HDU5721

题意：

已知有n个点，求当每个点不存在时这些剩下的点中的两点的最短距离之和。

题解：

用分治法求两点最短距离，先求出所有点中的最短距离，这个距离为除了此时端点的n-2个点不在时能得到的答案，并记录此时用到的两个点的编号，然后再分别计算一次这两个点不存在时的情况即可。

代码：

代码套用邝斌模板
Closest_Pair(left , mid , flag) 函数中的flag代表不能使用的点的标号。

#include <stdio.h>#include <iostream>#include <algorithm>#include <string.h>#include <cmath>using namespace std ;#define LL long long#define MAX 100010#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3fstruct Point{    LL x , y ;    int id ;};LL dist(Point a , Point b){    return ((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y)) ;}Point p[MAX] ;Point tmpt[MAX] ;bool cmpxy(Point a , Point b){    if(a.x != b.x) return a.x < b.x ;    else return a.y < b.y ;}bool cmpy(Point a , Point b){    return a.y < b.y ;}LL d;int pt[2];void Closest_Pair(int left , int right,int flag){    if(left == right) return ;    LL temp ;    if(left + 1 == right)    {        if(p[left].id != flag &&p[right].id != flag)        {            temp = dist(p[left] , p[right]) ;            if(d > temp)            {                d = temp ;                if(flag == -1)                {                    pt[0] = p[left].id ;                    pt[1] = p[right].id ;                }            }        }        return ;    }    int mid = (left + right) / 2 ;    Closest_Pair(left , mid , flag) ;    Closest_Pair(mid + 1 , right , flag) ;    int k = 0 ;    for(int i = left ; i <= right ; i ++)    {        if(p[i].id != flag && abs(p[mid].x - p[i].x) <= d)            tmpt[k ++] = p[i] ;    }    sort(tmpt , tmpt + k , cmpy) ;    for(int i = 0 ; i <k ; i ++)    {        for(int j = i + 1 ; j < k && tmpt[j].y - tmpt[i].y<d;j++)        {            temp = dist(tmpt[i] , tmpt[j]) ;            if(d > temp)            {                if(flag == -1)                {                    pt[0] = tmpt[i].id ;                    pt[1] = tmpt[j].id ;                }                d = temp ;            }        }    }}int main(){    int T , n;    scanf("%d" , &T) ;    while(T--)    {        scanf("%d" , &n) ;        for(int i = 0 ; i < n ; i ++)        {            scanf("%lld%lld" , &p[i].x , &p[i].y) ;            p[i].id = i ;        }        sort(p , p+n , cmpxy) ;        d = INF ;        Closest_Pair(0 , n-1 , -1) ;        LL ans = 1LL*d*(n-2) ;        d = INF ;        Closest_Pair(0 , n-1 , pt[0]) ;        ans += d ;        d = INF ;        Closest_Pair(0 , n-1 , pt[1]) ;        ans += d ;        printf("%lld\n" , ans) ;    }    return 0 ;}