【NOIP 模拟题】掷骰子（dp）

掷骰子（dice.cpp）

【问题描述】

    太郎和一只兔子正在玩一个掷骰子的游戏。有一个N个格子的长条棋盘，太郎和兔子轮流掷一个M面的骰子，骰子M面分别是1到M的数字，且掷到每一面的概率是相同的，掷到几，就往前走几步，当谁走到第N格时，谁就获胜了。游戏中还有一个规则“反弹”，就是当一位选手走到N格外时，他就会后退（就像飞行棋进营一样）。

假设现在一位选手在A格，当他掷出B时：1）若A+B<N,走到A+B格；2）若A+B=N,走到第N格，获胜；3）若A+B>N,走到N-(A+B-N)格。

  假设现在太郎和兔子分别在x格、y格，接下来是太郎掷骰子，太郎想知道他赢得比赛的概率是多少。

【问题输入】

    一行4格整数N、M、x、y。

【问题输出】

    一行一个小数，表示太郎获胜的概率（保留六位小数）

【样例输入】

    10 6 1 1

【样例输出】

    0.541725

【数据范围】

    30%的数据：10<=N<=100；

    100%的数据：10<=N<=2000,M，x,y<=n-1。

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【题解】【dp】

【f[i][j]表示A在第i格，B在第j格时，A获胜的概率。特别的：若i=n或j=n时，概率是1或0】

【分四种情况考虑：

 [1)若i+m<=n、j+m<=n，即i、j都不能一步获胜]  

      

（A从走到i+1-i+m这之间的位置的可能性都是均等的，都是1/m，同理，B从走到j+1-j+m这之间的位置的可能性都是1/m,所以每一个f[i'][j']出现的概率都是1/（m²））

【2）i+m<=n、j+m>n [A不能一步到终点，B可能一步到终点]】

  

j只有1中可能上次从n转移过来，j共有m中取值；i也有m种取值，所以共有m²种可能，再加上i这一步可以到终点的一种可能性

【3）i+m>n,j+m<=n[A可能一步到终点，B不可能一步到终点]】

（这种情况下，与第2种情况相似）

【4）i+m>n,j+m>n[A、B都有可能一步到终点]】

   在这种情况下，因为有反弹，soA、B的位置只可能在[n-m+1,n]中，两人一步到终点的几率都是1/m,

    那么，A先到n的可能就是

                             

 等比数列求和：

                                

 化简得：

                                

【5）最后，还有一点，若i=n-m,当i'=j=n的概率为1】

。 

[转自： http://blog.csdn.net/lyd_7_29/article/details/52245309]

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int n,m,x,y;double f[2010][2010];//f[i][j]表示A在第i格,B在第j格时，A获胜的概率 inline double SUM(int x1,int y1,int x2,int y2){return (f[x1][y1]-f[x1][y2]-f[x2][y1]+f[x2][y2]);}int main(){freopen("dice.in","r",stdin);freopen("dice.out","w",stdout);int i,j;scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&x,&y);for(i=n;i>0;--i) for(j=n;j>0;--j)  {  f[i][j]=f[i+1][j]+f[i][j+1]-f[i+1][j+1];  if(i==n||j==n) {f[i][j]+=(i==n); continue;}//有一个已到终点   if(i<=n-m&&j<=n-m) {f[i][j]+=SUM(i+1,j+1,i+m+1,j+m+1)/m/m; continue; }//A、B都不能一步到终点   if(i<=n-m&&j>n-m) {f[i][j]+=((m-1)*SUM(i+1,j,i+m+1,j+1)+(i+m==n))/m/m; continue;}//A不能一步到终点，B可能一步到终点   if(i>n-m&&j<=n-m) {f[i][j]+=((m-1)*SUM(i,j+1,i+1,j+m+1)+m)/m/m; continue; }//A可能一步到终点，B不能一步到终点   if(i>n-m&&j>n-m) {f[i][j]+=1.0*m/(2*m-1); continue;}//A、B都可能一步到终点   }printf("%.6lf\n",SUM(x,y,x+1,y+1));return 0;}