题目1056：最大公约数

题目1056：最大公约数

时间限制：1 秒

内存限制：32 兆

特殊判题：否

题目描述：

输入两个正整数，求其最大公约数。

输入：

测试数据有多组，每组输入两个正整数。

输出：

对于每组输入,请输出其最大公约数。

样例输入：

49 14

样例输出：

7
结题思路，粗暴解法时间复杂度太大，使用欧几里算法

设两数为a、b(a<b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=k.......r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

第一步：令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互质【假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾】，因此c也是b与r的最大公约数。

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

证毕。

以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

#include <iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<stack>using namespace std;//求最大公约数int gcd (int a,int b){    if(b==0)        return a;   //b为0，则最大公约数为a    else        return gcd(b,a%b);//否则求b与a%b的最大公约数}int main(){    int x,y;    while(scanf("%d %d",&x,&y)!=EOF)    {        printf("%d\n",gcd(x,y));    }    return 0;}

#include <iostream>#include<stdio.h>#include<string.h>#include<algorithm>#include<stack>using namespace std;//求最大公约数int gcd (int a,int b){   while(b!=0){    int t=a%b;    a=b;    b=t;   }   return a;}int main(){    int x,y;    while(scanf("%d %d",&x,&y)!=EOF)    {        printf("%d\n",gcd(x,y));    }    return 0;}