求解两个等长升序序列的中位数

2011年计算机联考真题

题目描述：

    一个长度为L (L>=1)的升序序列S，处在第[L/2]个位置的数称为S的中位数。例如，若序列S1=(11, 13, 15, 17, 19)，则S1的中位数是15，两个序列的中位数是含它们所有元素的升序序列的中位数。例如，若S2= (2, 4，6，8, 20)，则S1和S2的中位数是11。现在有两个等长升序序列A和B，试设计一个在时间和空间两方面都尽可能高效的算法，找出两个序列A和B的中位数。

递归解法：

基本思想：

    我们找到了A[n/2] 和 B[n/2]来比较，    如果他们相等，那样的话，我们的搜索结束了，因为答案已经找到了A[n/2]就肯定是排序后的中位数了。    如果我们发现B[n/2]>A[n/2]，说明什么,这个数字应该在 A[n/2]->A[n]这个序列里面， 或者在 B[1]-B[n/2]这里面。    类似的， 如果B[n/2]<A[n/2]呢？显然就是在A[0]-A[n/2]和B[n/2]-B[n]里面寻找了。    这个递归什么时候结束呢？当然一种情况就是相等的值出现， 如果不出现等到这个n==1的时候也就结束了。

注意：

    当元素个数为奇数时舍弃中间点以前或以后部分，保留中间点    当元素个数为偶数时：往前舍的舍掉中间点，往后舍得保留中间点，这是为了保证元素个数始终相同

代码如下：

int Find_Median( int a[], int b[], int length){    if (length == 1)        return a[0] < b[0] ? a[0] : b[0];    int i = (length - 1)/2;    if (a[i] == b[i])        return a[i];    else if(length % 2 == 0)    {        if (a[i]<b[i])            // 舍掉a的中间点及以前部分，b保留中间点            return Find_Median( &a[i+1], &b[0], length-i-1 );        else            //舍掉b的中间点及以前部分，a保留中间点            return Find_Median( &a[0], &b[i+1], length-i-1 );    }    else    {        if (a[i]<b[i])            return Find_Median( &a[i], &b[0], length-i );        else            return Find_Median( &a[0], &b[i], length-i );    }}

非递归解法

基本思想：

分别求两个序列的中位数，设为a, b，求A、B的中位数的过程如下：     1、若a = b, 则a或b为所求，算法结束；     2、若a < b, 则舍弃A中较小的一半，同时舍弃B中较大的一半，要求两次舍弃的长度相等；     3、若a > b, 则舍弃A中较大的一半，同时舍弃B中较小的一半，要求两次舍弃的长度相等。     重复步骤1 2 3，直到两个序列均只含一个元素，较小者即为所求

代码如下：

// 非递归版本int M_Search(int A[], int B[], int n){    //A、B的首位数、末位数和中位数    int s1 = 0, d1 = n-1, s2 = 0, d2 = n-1, m1, m2;    while(s1 != d1 || s2 != d2)    {        m1 = (s1 + d1)/2;        m2 = (s2 + d2)/2;        //满足条件 1        if(A[m1] == B[m2])            return A[m1];        //满足条件 2        if(A[m1] < B[m2])        {            //元素个数为奇数            if((d1 + s1)%2 == 0)            {                s1 = m1;                d2 = m2;            }            //元素个数为偶数            else            {                s1 = m1 + 1;                d2 = m2;            }        }        //满足条件 3        else        {            //奇数            if((d2 + s2)%2 == 0)            {                d1 = m1;                s2 = m2;            }            //偶数            else            {                d1 = m1;                s2 = m2 + 1;            }        }    }    return A[s1] < B[s2] ? A[s1] : B[s2];}

两种算法时间复杂度均为O(logn)