快速幂取模算法

研究问题

假设给定数值a、b、c,如何快速求解 a^b %c ?

常用公式

• (1) (a+b)%c = ((a%c)+(b%c))%c;

  如 (3+4)%2 = (3%2+4%2)%2 = (1+2)%2 = 1;

• (2) (a*b)%c = ((a%c)*(b%c))%c;

  如 （3*8)%2 = ( (3%2)*(8%2) ) %2 = (1*0) %2 = 0;

• (3) a^b %c = (a%c)^b %c

  如 3^4 %2 = (3%2)^4 %2 = (1)^4 = 1

证明:
(1) suppose a=m*c+n, b=s*c+t;
(a+b)%c = ((m*c+n)+(s*c+t))%c = ((m+s)*c+(n+t))%c = ((m+s+k)*c+q)%c = q = (k*c+q)%c = (n+t)%c.
(a+b)%c = ((m*c+n)+(s*c+t))%c = ((m*c+n)%c+(s*c+t)%c)%c=(n+t)%c.
so (a+b)%c = ((a%c)+(b%c))%c;
(2) suppose a=m*c+n, b=s*c+t;
(a*b)%c = ((m*c+n)*(s*c+t))%c = (m*s*c*c+(mt+sn)*c+n*t)%c = ((m*s*c+(mt+sn)+k)*c + q)%c = q = (k*c+q)%c = (n*t)%c.
(a*b)%c = ((m*c+n)%c *(s*c+t)%c)%c = (n*t)%c.
so (a*b)%c = ((a%c)*(b%c))%c;

求解方法

算法1，利用上述公式3，算法复杂度为O(b)

int result = 1;a = a%c;//公式3for(int i=1;i<=b;i++){  result = (result*a)%c;//公式3}result = result %c;

算法2，即快速幂算法，算法复杂度为O(logb)

快速幂算法依赖公式：

• a^b %c = ( ( a^2 )^b/2 ) %c , b是偶数
• a^b %c = ( ( a^2 )^b/2 *a ) %c ,b是奇数

以下内容参照博客：http://blog.csdn.net/lhfight/article/details/7752365

有了上述两个公式后，我们可以得出以下的结论：
1.如果b是偶数，我们可以记k = a^2 % c，那么求(k)^b/2 % c就可以了。
2.如果b是奇数，我们也可以记k = a^2 % c，那么求
((k)^b/2 % c * a ) % c =((k)^b/2 % c * a) % c 就可以了。

那么我们可以得到以下算法：

int ans = 1;a = a % c;if(b%2==1)ans = (ans * a) mod c; //如果是奇数，要多求一步，可以提前算到ans中k = (a*a) % c; //我们取a2而不是afor(int i = 1;i<=b/2;i++){ans = (ans * k) % c;}ans = ans % c;

我们可以看到，我们把时间复杂度变成了O(b/2).当然，这样子治标不治本。但我们可以看到，当我们令k = (a * a) % c时，状态已经发生了变化，我们所要求的最终结果即为(k)^b/2 % c而不是原来的a^b % c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。当然，对于奇数的情形会多出一项a % c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过
ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。

形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法–快速幂算法。

int PowerMod(int a, int b, int c){    int ans = 1;    a = a % c;    while(b>0) {        if(b % 2 = = 1)        ans = (ans * a) % c;        b = b/2;        a = (a * a) % c;    }    return ans;}