扩展欧几里得算法&同余方程&模m乘法逆元详解

欧几里德算法：

复习：求最大公约数算法（欧几里得算法、也叫辗转相除法）。欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

基本算法：设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。

第一种证明：

     a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

　　假设d是a,b的一个公约数，则有

　　d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r

　　因此d是(b,a mod b)的公约数

　　假设d 是(b,a mod b)的公约数，则

　　d | b , d |r ，但是a = kb +r

　　因此d也是(a,b)的公约数

　　因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

第二种证明：

    要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
    下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
    设  c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
    由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
    则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
    b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质

  （假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1
   则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾，所以n ，m-qn一定互质）
   则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
   得证。

 

算法的实现：

最简单的方法就是应用递归算法，代码如下：

[cpp] view plain copy

1. int gcd(int a,int b)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.         return a;  
5.     return   
6.         gcd(b,a%b);  
7. }  

[cpp] view plain copy

1. int gcd(int a,int b)  
2. {  
3.     return b ? gcd(b,a%b) : a;  
4.  }  

扩展欧几里德算法：

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 ：

gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

扩展欧几里德的递归代码：

[cpp] view plain copy

1. int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  
2. {  
3.     if(b==0)  
4.     {  
5.         x=1;  
6.         y=0;  
7.         return a;  
8.     }  
9.     int r=exgcd(b,a%b,x,y);  
10.     int t=x;  
11.     x=y;  
12.     y=t-a/b*y;  
13.     return r;  
14. }  

扩展欧几里德非递归算法思路参见附文：欧几里德算法和扩展欧几里德算法。（非递归算法思路解析）

扩展欧几里德非递归代码：

[cpp] view plain copy

1. int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)  
2. {  
3.     int x1,y1,x0,y0;  
4.     x0=1; y0=0;  
5.     x1=0; y1=1;  
6.     x=0; y=1;  
7.     int r=m%n;  
8.     int q=(m-r)/n;  
9.     while(r)  
10.     {  
11.         x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;  
12.         x0=x1; y0=y1;  
13.         x1=x; y1=y;  
14.         m=n; n=r; r=m%n;  
15.         q=(m-r)/n;  
16.     }  
17.     return n;  
18. }  

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

 

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，

   p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：

   p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 

  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)
  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解

  p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

  相关证明可参考：http://www.cnblogs.com/void/archive/2011/04/18/2020357.html

 

  用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

  代码如下：

[cpp] view plain copy

1. bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)  
2. {  
3.     int d=exgcd(a,b,x,y);  
4.     if(c%d)  
5.         return false;  
6.     int k=c/d;  
7.     x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解  
8.     return true;  
9. }  

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：

    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。

    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)

    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。

    如果 d| b，则方程a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，

    得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。

    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。

    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。

    设ans=x*(b/d),s=n/d;

    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

    相关证明：

    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;

    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)

         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))
                 = b (mod n)

    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);

    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)

                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)

                             = a * x0 (mod n)                 (由于 d | a)

                             = b

首先看一个简单的例子：

5x=4(mod3)

解得x = 2,5,8,11,14.......

由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.

那么这个解的间隔是怎么决定的呢？

如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.

我们设解之间的间隔为dx.

那么有

a*x = b(mod n);

a*(x+dx) = b(mod n);

两式相减，得到:

a*dx(mod n)= 0;

也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.

设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.

即a*dx = a*n/d;

所以dx = n/d.

因此解之间的间隔就求出来了.

代码如下：

[cpp] view plain copy

1. bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)  
2. {  
3.     int x,y,x0,i;  
4.     int d=exgcd(a,n,x,y);  
5.     if(b%d)  
6.         return false;  
7.     x0=x*(b/d)%n;   //特解  
8.     for(i=1;i<d;i++)  
9.         printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);  
10.     return true;  
11. }  

（3）用欧几里德算法求模的逆元：

       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

来源：http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

中国剩余定理 

前置技能

扩展欧几里得算法: 
求出形似 

a⋅x+b⋅y=1gcd(a,b)=1

也即 

a⋅x+b⋅y=gcd(a,b)

的一组解 x,y

---

问题模型

对 x 满足以下模方程

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪xmodxmodxmodxmodp1=a1p2=a2p2=a3⋮pm=amp1,p2,…,pm互质

求最小的

xmod(p1⋅p2⋅p3⋯pm)

---

解决方案

1> 我们先解决 m=2 的情况

{xmodp1xmodp2=a1=a2

求

xmod(p1⋅p2)

的值

我们设两个中间变量r,s,并将式子改变为

{x+r⋅p1x+s⋅p2=a1=a2

则

r⋅p1−s⋅p2=a1−a2

我们再设另外两个中间变量 r′,s′满足

{rs=r′⋅(a1−a2)=−s′⋅(a1−a2)

则上式变为

r′⋅p1+s′⋅p2=1

此时,我们可以就通过扩展欧几里得求得r′,s′了 
回带即可得到一个xmod(p1⋅p2) 的值了

2> 多个式子的合并

我们注意到两个式子合并为了一个方程

xmod(p1⋅p2)=b

这个方程的形式与其他方程的形式相同,并且模数互质,所以我们可以对这些方程两两合并

[cpp] view plain copy

1. /****************************************\ 
2. * Title  : [cogs] 1786. 韩信点兵 
3. \****************************************/  
4. #include <cstdio>  
5. #define Rep(i,l,r) for(i=(l);i<=(r);i++)  
6. #define Rev(i,r,l) for(i=(r);i>=(l);i--)  
7. #define rep(i,l,r) for(i=(l);i< (r);i++)  
8. #define rev(i,r,l) for(i=(r);i> (l);i--)  
9. typedef long long ll ;  
10. typedef double lf ;  
11. typedef long double llf ;  
12. typedef unsigned uint ;  
13. typedef unsigned long long ull ;  
14. #define  Getchar()  getchar()  
15. int CH , NEG ;  
16. template <typename TP>  
17. inline void read(TP& ret)  
18. {  
19.     ret = NEG = 0 ; while (CH=Getchar() , CH<'!') ;  
20.     if (CH == '-') NEG = true , CH = Getchar() ;  
21.     while (ret = ret*10+CH-'0' , CH=Getchar() , CH>'!') ;  
22.     if (NEG) ret = -ret ;  
23. }  
24. template <typename TP>  
25. inline void readc(TP& ret)  
26. {  
27.     while (ret=Getchar() , ret<'!') ;  
28.     while (CH=Getchar() , CH>'!') ;  
29. }  
30. template <typename TP>  
31. inline void reads(TP *ret)  
32. {  
33.     ret[0]=0;while (CH=Getchar() , CH<'!') ;  
34.     while (ret[++ret[0]]=CH,CH=Getchar(),CH>'!') ;  
35.     ret[ret[0]+1] = 0 ;  
36. }  
37.   
38. #define  maxm  11LL  
39. #define  abss(x)  ((x)<0?-(x):(x))  
40.   
41. ll tmp ;  
42. inline void exgcd(ll a, ll b, ll&x, ll&y)  
43. {  
44.     if (b) exgcd(b,a%b,x,y) , tmp = x , x = y , y = tmp-a/b*y ;  
45.     else x = 1 , y = 0 ;  
46. }  
47.   
48. inline ll mul(ll a,ll b,ll module)  
49. {  
50.     ll ret = a*b-((ll)((llf)a*b/(llf)module+1E-3))*module ;  
51.     return (ret+module)%module ;  
52. }  
53.   
54. ll p[maxm] , a[maxm] ;  
55.   
56. int main()  
57. {  
58.     int i , m ;  
59.     ll n , x , y , module ;  
60.     #define READ  
61.     #ifdef  READ  
62.         freopen("HanXin.in" ,"r",stdin ) ;  
63.         freopen("HanXin.out","w",stdout) ;  
64.     #endif  
65.     read(n) , read(m) ;  
66.     read(p[1]) , read(a[1]) ;  
67.     module = p[1] ;  
68.     Rep (i,2,m) {  
69.         read(p[i]) , read(a[i]) ;  
70.         exgcd(module,p[i],x,y) ;  
71.         if (y < 0) y += module ;  
72.         module *= p[i] ;  
73.         y = mul(y,abss(a[i]-a[i-1]),module) ;  
74.         a[i] = (a[i]-mul(abss(y),p[i],module)) % module ;  
75.     }  
76.     ll ans = n-a[m]-(n-a[m])/module*module ;  
77.     if (ans > n) puts("-1") ;  
78.     else printf("%lld\n", ans) ;  
79.     #ifdef  READ  
80.         fclose(stdin) ; fclose(stdout) ;  
81.     #else  
82.         Getchar() ; Getchar() ;  
83.     #endif  
84.     return 0 ;  
85. }  

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附文：欧几里德算法和扩展欧几里德算法。（非递归算法思路解析）

首先来看欧几里德算法数学原理：
定理1：设a,b,c是任意三个不全为零的整数，且
a=bq+c，
其中q是整数，则(a,b)=(b,c).
证明：因为(a,b)|a，(a,b)|b，所以有(a,b)|c，因而(a,b)≤(b,c)。同理可证(b,c)≤(a,b)，于是有(a,b)=(b,c)。 证毕

任给整数a>0,b>0，由带余数的除法，有下列等式：
a=bq_1+r_1，0<r_1<b，
b=r_1 q_2+r_2，0<r_2<r_1，
…… (1)
r_(n-2)=r_(n-1) q_n+r_n，0<r_n<r_(n-1)，
r_(n-1)=r_n q_(n+1)+r_(n+1)，r_(n+1)=0，
因为b>r_1>r_2>r_3>⋯，故经过有限次带余除法后，总可以得到一个余数是零，即(1)中r_(n+1)=0

定理2：若任给整数a>0,b>0，则(a,b)就是(1)中最后一个不等于零的余数，即(a,b)= r_n.
证明：由定理1即得：
r_n=(0,r_n )=(r_n,r_(n-1) )=⋯=(r_2,r_1 )=(r_1,b)=(a,b) 证毕
由以上原理可得到求最大公因数的辗转相除法，也即欧几里德算法

算法流程描述
递归算法：
(1) 得到两正整数a,b；
(2) 判断如果b=0，则返回a，否则返回(b,a mod b)。
非递归算法：
(1) 得到两正整数a,b；
(2) 若b=0，返回a；
(3) 否则r<-a mod b，a<-b，b<-r；
(4) 重复(3)直到r=0；
(5) 返回a。
注：算法只考虑正整数情况，故调用时须对参数a,b取绝对值。

C语言代码
递归算法：

#include<stdio.h>#include<math.h>int Euclid(int a,int b);int main(){        int a,b,gcd;        while(1)        {                printf("请输入两个数，以空白字符分隔：\n");                scanf("%d%d",&a,&b);                if(0==a&&0==b)                {                        printf("输入数据错误！请重新输入！\n\n");                        continue;                }                gcd=Euclid(abs(a),abs(b));                printf("两数的最大公约数为%d。\n\n",gcd);        }        return 0;}int Euclid(int a,int b){        if(0==b)                return a;        return Euclid (b,a%b);}

非递归算法：

#include<stdio.h>#include<math.h>int Euclid(int a,int b);int main(){        int a,b,gcd;        while(1)        {                printf("请输入两个数，以空白字符分隔：\n");                scanf("%d%d",&a,&b);                if(0==a&&0==b)                {                        printf("输入数据错误！请重新输入！\n\n");                        continue;                }                gcd=Euclid(abs(a),abs(b));                printf("两数的最大公约数为%d。\n\n",gcd);        }        return 0;}int Euclid(int a,int b){        int r;        if(0==b)                return a;        do        {                r=a%b;                a=b;                b=r;        }while(r!=0);        return a;}

欧几里德算法在求两数最大公因数问题上可以算是一个高效算法，并且实现起来很容易，如果写递归程序只需要两行，但是出于效率考虑，在能使用非递归时尽量不要使用递归。递归的思想很重要，需要深入理解，而在实际应用中要尽量避免深度递归。将递归算法转化为非递归算法也是一个有趣的问题。在欧几里德算法的实现中，递归转化成非递归很好实现，用到了循环，还有一些递归转成非递归需要用到栈，也就是自己模仿系统为中间变量设置栈。

在欧几里德算法的基础上，又派生了扩展的欧几里德算法，所依赖的定理是：
对任给整数a>0,b>0，存在整数x,y，使得(a,b)= ax+by;
扩展的欧几里德算法就是要求这个最小的正线性组合ax+by中的x和y，这在求乘法逆元上有所应用。
首先考虑递归求解：
当b=0时，我们取x=1,y=0。
当b≠0时
假设gcd(a,b)=d，则gcd(b,a mod b)=d。若我们已经求出了gcd(b,a mod b)的线性组合表示bx’+(a mod b)y’，则
d=gcd(a,b)
=bx'+(a mod b)y'
=bx'+(a-[a/b]b)y'
  =ay'+b(x'-[a/b]y')
那么，x=y'，y=x’-[a/b]y’。这样就可以在Euclid的递归过程中求出x和y。
代码如下：

#include<stdio.h>#include<math.h>int x,y;int Euclid_Extend(int a,int b);int main(){        int a,b,gcd;        while(1)        {                printf("请输入两个整数，以空白字符分隔：\n");                scanf("%d%d",&a,&b);                if(0==a&&0==b)                {                        printf(“输入的数据有误，请重新输入！\n\n”);                        continue;}                gcd=Euclid_Extend(abs(a),abs(b));                printf("%d和%d的最大公约数是%d\n",a,b,gcd);                printf("%d=(%d)*(%d)+(%d)*(%d)\n\n",gcd,x*(a<0?-1:1),a,y*(b<0?-1:1),b);        }        return 0;}int Euclid_Extend(int a,int b){        int m,n;        if(0==b)        {                x=1;                y=0;                return a;        }        else        {                n=Euclid_Extend(b,a%b);                m=x;                x=y;                y=m-a/b*y;                return n;        }}

程序中使用了递归，如果要将其改造成非递归，需要设置一个栈来保存辗转相除过程中的a/b。代码如下：

#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>typedef struct node{        int num;        node *next;}*Link,Node;Link top=NULL; //栈顶int Extend_Euclid(int a,int b);int main(){        int a,b,gcd,temp;        int x,y;        Link p;        while(1)        {                printf("请输入两个整数，以空白字符分隔：\n");                scanf("%d%d",&a,&b);                if(0==a&&0==b)                {                        printf("输入的数据有误，请重新输入！\n\n");                        continue;                }                gcd=Extend_Euclid(abs(a),abs(b));                printf("%d和%d的最大公约数是%d\n",a,b,gcd);                x=1;                y=0;                while(top!=NULL)                {                        temp=x;                        x=y;                        y=temp-top->num*y;                        p=top;                        top=top->next; //a/b退栈                        free(p);                }                printf("%d=(%d)*(%d)+(%d)*(%d)\n\n",gcd,x*(a<0?-1:1),a,y*(b<0?-1:1),b);        }        return 0;}int Extend_Euclid(int a,int b){        int r;        Link p;If(0==b)        return a;        do        {                p=(Link)malloc(sizeof(Node));                p->num=a/b;                p->next=top;                top=p; //a/b进栈                r=a%b;                a=b;                b=r;        }while(r!=0);        return a;}

虽然改造成了非递归，仍然需要较大空间来保存中间值，在辗转相除次数较大时空间复杂度较高。要想提高效率，就要从改造算法出发考虑。寻求一种不使用倒推的算法。

沿着式(1)所示的除法顺序进行，并假设在每一步i都可以找到x_i,y_i满足r_i=ax_i+by_i，于是可以得到如下式子：
a=bq_1+r_1 r_1=ax_1+by_1
b=r_1 q_2+r_2 r_2=ax_2+by_2
r_1=r_2 q_3+r_3 r_3=ax_3+by_3
……
r_(n-2)=r_(n-1) q_n+r_n r_n=ax_n+by_n，
r_(n-1)=r_n q_(n+1)+0

可以通过移项得到：r_i=r_(i-2) - r_(i-1) q_i (2)
同样从i-1行和i-2行可以得到
 r_(i-1)=ax_(i-1)+by_(i-1) r_(i-2)=ax_(i-2)+by_(i-2)
带入式(2)有
r_i=ax_(i-2)+by_(i-2) - [ax_(i-1)+by_(i-1)]q_i
    =a[x_(i-2) - x_(i-1) q_i]+b[y_(i-2) - y_(i-1) q_i]
又由假设r_i=ax_i+by_i，可知x_i=x_(i-2) - x_(i-1) q_i，y_i=y_(i-2) - y_(i-1) q_i。
辗转相除的最后得到 r_n=ax_n+by_n，r_n即为a、b的最大公因子，所以x_n，y_n就是所求的x、y。我们可以在辗转相除的同时根据递推式求解出x_n、y_n。
                计算 满足
x_-1=1,y_-1=0 a=a*x_-1+b*y_-1
x_0=0,y_0=1 b=a*x_0+b*y_0
x_1=x_-1 - x_0*q_1=1 r_1=a*x_1+b*y_1
y_1=y_-1 - y_0*q_1= - q_1
x_2=x_0 - x_1*q_2= - q_2 r_2=a*x_2+b*y_2
y_2=y_0 - y_1*q_2=1 + q_q*q_2
……
x_n=x_(n-2) - x_(n-1)*q_n r_n=a*x_n+b*y_n
y_n=y_(n-2) - y_(n-1)*q_n

gcd(a,b)=r_n
x=x_n,y=y_n

代码如下：

#include <stdio.h>int Extend_Euclid(int a,int b,int* x,int* y);//扩展欧几里德算法int main(){        int a,b,x,y,GCD;        while (1)        {                printf("请输入a、b,以空白字符分隔：\n");                scanf("%d%d",&a,&b);                GCD=Extend_Euclid(a,b,&x,&y);                printf("两数最大公约数是%d,x=%d y=%d\n\n",GCD,x,y);        }        return 0;}int Extend_Euclid(int a,int b,int* x,int* y)//扩展欧几里德算法{        if(0==b)        {                *x=1;                *y=0;                return a;        }        int r;        int x_i_2=1,y_i_2=0,x_i_1=0,y_i_1=1,x_i,y_i;        while(r=a%b)        {                x_i=x_i_2-a/b*x_i_1;                y_i=y_i_2-a/b*y_i_1;                x_i_2=x_i_1;                y_i_2=y_i_1;                x_i_1=x_i;                y_i_1=y_i;                a=b;                b=r;        }        *x=x_i;        *y=y_i;        return b;}

与使用栈相比，只增加了x_i_2,y_i_2,x_i_1,y_i_1,x_i,y_i这六个中间变量，节省了空间。可见算法的选择对于程序的效率是至关重要的。计算机性能的提高对于运算速度的影响只有很少一部分，设计高效的算法才是提高程序运行效率的关键一步。

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C实现源码：https://github.com/yangxt225/GCD

【参考】http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/9901195

【参考】https://www.douban.com/note/270780572/

【参考】http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html