【NOIP2012】洛谷1082 同余方程 扩展欧几里得详解
来源:互联网 发布:js 对象数组 查找元素 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 19:54
题目描述
求关于 x 的同余方程 ax ≡ 1 (mod b)的最小正整数解。 输入输出格式 输入格式:
输入:
只有一行,包含两个正整数 a, b,用一个空格隔开。
输出:
输出只有一行,包含一个正整数 x0,即最小正整数解。输入数据保证一定有解。
题解:
首先是齐次方程ax+by=0的通解为:
x=-b * t/gcd(a,b);
y=a * t/gcd(a,b);
t为整数;
至于为什么要除以gcd,在于找最小因子,a和b不一定互质。
那么对于非齐次方程ax+by=gcd(a,b)的解为:
x=x0-b * t/gcd(a,b),
y=y0+a * t/gcd(a,b);
一个显而易见的表达是:a*( x0-b * t/gcd(a,b))+b * (y0+a * t/gcd(a,b))=a * x0+b *y0;
因此一旦我们求出特解,那么通解为:
x=x0-b * t/gcd(a,b),
y=y0+a * t/gcd(a,b);(重复了一下哈)
举个例子:
3 * x+7 * y=1,求x的最小整数解;
答案为x=5,y=-2;
但是 我们直接用扩展欧几里得,得出结果为:x=-2,y=1;
因此通解为:
x=-2+7*t
也就是x是-2关于7的余数,其中找一个最小正整数。即(-2)%7限制在min(-2,-7)到0之内,((-2%7)+7)%7;
注意:一个的余数还是负数。
#include<cstdio>#include<cstring>#define L long longvoid ex_gcd(L a,L b,L &x,L &y){ if (b==0) { x=1; y=0; return; } ex_gcd(b,a%b,x,y); L tmp=x; x=y; y=tmp-(a/b)*y;}int main(){ L a,b,x,y; scanf("%lld%lld",&a,&b); ex_gcd(a,b,x,y); printf("%lld\n",(x%b+b)%b);}
习题NOIP2012Day2T1
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