背包问题，动态规划求解，matlab代码，c语言，c++代码

最近写论文接触到背包问题，查阅网上一些资料，对于简单的背包问题，动态规划算法可以求解，最近花时间整理整理。

背包问题描述：

有编号分别为a，b，c，d，e 的五件物品，它们的重量分别是 2，2，6，5，4，它们的价值分别是 6，3，5，4，6，现在给你个承重为 10 的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？ （假设每类物品可以装多个）

根据求解动态规划问题的步骤，一步一步来。用 ci 表示各物品的重量，vi 表示各物品的价值。

阶段：

,

第 i  阶段表示检查第 i 个物品。

状态变量：

表示检查第 i 个物品时包中的剩余承重量。一个问题能够用动态规划算法求解，必须保证状态空间是有限的。

决策变量：

表示第 i 个物品装入几个。

状态转移方程：

最优收益函数：

表示检查第 i 个物品时，当包中剩余承重为 Si，包中装入物品 i, i+1, ... 5 能达到的最大价值。

最优收益函数转移方程：

得到最优转移方程时，就可以求解了。从上式可以看出要用逆推法求解。当然也可以用顺推法求解，不过需要改变最优收益函数的定义。

动态规划求解时，都可以用矩阵来递推。

用了一位的前辈的图： http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810。 我稍微改了下，不是0-1 背包，每类物品可以装多个。

这个图画的真不错！只是少了一列，s=0 的一列。

nameweightvalue12345678910a2606612121818242430b230336699121215c650006666121212d540006666121212e460006666121212
最优解是装入 5 个物品 a ！

matlab 代码：

function Knapsackc=[2 2 6 5 4];v=[6 3 5 4 6];f=zeros(5,11);x=zeros(5,11);xx=zeros(5,1);for i=5:-1:1    for S=0:10        if i==5            f(i,S+1)=v(i)*floor(S/c(i));            x(i,S+1)=floor(S/c(i));        else            xMax=floor(S/c(i));            ff=zeros(xMax+1,1);            for k=0:xMax                ff(k+1)=v(i)*k+f(i+1,S-c(i)*k+1);            end            [f(i,S+1),index]=max(ff);            x(i,S+1)=index-1;        end    endend[optValue,index]=max(f(1,:));xx(1)=x(1,index);tempS=index;fprintf('optimal solution:%d\n',optValue);for i=2:5    xx(i)=x(i,tempS-c(i-1)*xx(i-1));    tempS=tempS-c(i-1)*xx(i-1);endfor i=1:5    fprintf('put %d item%d in the bag\n',xx(i),i);endend

输出结果：

optimal solution:15
put 0 item1 in the bag
put 1 item2 in the bag
put 0 item3 in the bag
put 0 item4 in the bag

put 2 item5 in the bag

c 语言代码，我编写成了 cpp格式，因为严格的c语言规范太多束缚了，不好编译通过，必须首先声明变量才能使用。不能同时声明同时使用，很不方便。

用到了动态数组，以及能够返回一个数组的函数。

#include"stdio.h"#include"stdlib.h"int * Max(int *arr, int n){int *a=(int *)malloc(2*sizeof(int));a[0]=0;a[1]=0;for (int i=0;i<n;i++){if (arr[i]>a[0]){a[0]=arr[i];a[1]=i;}}return a;}void main(){static const int c[5]={2,2,6,5,4};static const int v[5]={6,3,5,4,6};int f[5][11];int x[5][11];int itemNum[5];for (int i=5;i>0;i--)for (int S=0;S<11;S++){if (i==5){f[i-1][S]=v[i-1]*(S/c[i-1]);x[i-1][S]=S/c[i-1];}else{int xMax=S/c[i-1];int * ff= (int *)malloc(sizeof(int)*(xMax+1));for(int k=0;k<=xMax;++k)ff[k]=v[i-1]*k+f[i][S-c[i-1]*k];int *a=Max(ff,xMax+1);f[i-1][S]=a[0];x[i-1][S]=a[1];free(a);free(ff);}}int *temp=f[0];int *maxValue=Max(temp,11);int tempS=maxValue[1];itemNum[0]=x[0][tempS];for (int i=1;i<5;++i){itemNum[i]=x[i][tempS-c[i-1]*itemNum[i-1]];tempS-=c[i-1]*itemNum[i-1];}printf("the optimal solution is: %d\n",maxValue[0]);for(int i=0;i<5;i++)printf("put %d item%d in the bag\n",itemNum[i],i+1);free(maxValue);}