有趣的数

文章转自其他博主

马上就要参加CCF认证考试了，然后最近就在做CCF上的模拟题，我选的语言是java，然后遇到第四题——有趣的数，当时一看题目，卧槽太TM简单了，比第一题和第二题还简单，高兴死我了，然后我就做呗，然后我就做完了，然后就交了，然后就跪了（这个事实证明我们不能乱立flag），然后我发现并不是我算法错了，就是稍微有点久（其实是非常久吧，喂！），反正就是没达到时间要求啦，然后我就查网上，查到几个但是没用，也不说思路的（作者你出来，我保证不~打死你）。后来在逛这个论坛的看见有人问这个，然后下面有位大神给了一种思路，我琢磨了一下，卧槽，大神太屌了，虽然没怎么认真说，但是我还是看懂了，我现在大二，编程才1年，我能看懂，你们也能看懂。

给题目先：

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：

1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。

2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。

3. 最高位数字不为0。

因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。

请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

这道题最后我是用动态规划解的，嗯？你问我什么是动态规划？我也想知道啊喂！！人家昨天才碰到的这个题~~

哎呀反正你能懂怎么出来答案的就行了呗！

首先来看代码：

long mod = 1000000007;

Scanner sc = new Scanner(System.in);
int number = sc.nextInt();
long [][] status = new long[number + 1][6];
for (int i = 0; i < 6; i ++)
status[0][i] = 0;


for (int i = 1; i < number + 1; i ++){
status[i][0] = 1;
status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1]) % mod;
status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
}
System.out.println(status[number][5]);

首先我们还是得从题目分析

0不能再首位是吧？那首位只能是1,2,3中的一个呗是吧？你放1看看行不，肯定不行啊，所有0得在1的前面，你放1了让0情何以堪？放2可以，放3的话你让2情何以堪？

所以首位只能放2对吧？

现在来说status这个二维数组，status[i][j]到第i个位置满足第j种状态的所有可能数，总共最多有6种状态：

0 -- 0 1 (2) 3
1 -- (0) 1 (2) 3
2 -- 0 1 (2) (3)
3 -- (0) (1) (2) 3
4 -- (0) 1 (2) (3)
5 -- (0) (1) (2) (3)

比如说status[5][4] = 70的意思就是，到第5位（首位是第1位！）为止，保持第4种状态的数一共有70个（咳咳，当然数据是我瞎掰的）

在括号里的数说明前面的k位中，只出现了括号里的数，你可以发现6个状态中2都是被括号括起来的，没办法，刚刚说了2必须是首位啊

而且这是你在填第k+1位的时候能保持的仅有的6个状态，其他的状态都是无效的

比如0（1）（2) 3就是无效的，那是不可能的啊，假如说你现在填的是第k位吧，那么你填完第k位的数后的状态是只包括1和2，那你想想，怎么可能只出现1和2呢？那你让0情何以堪？0就没地方放了。

第一个for循环不讲

第二个for循环n次だろ？很明显这个就对应n位

然后看第一个式子

status[i][0] = 1;

到第i位为止，第i位填的数字使整个数字要满足状态0，那么这样的可能有几个？1个呗，你要能填出2以外的数来我就去（qia shi la）

status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;

到第i位为止，填第i位的数，使整个数保持状态1。要满足状态1，也就是只出现0和2，那你想前i-1位应该是个什么状态，要么是只有2，要么是0,2对吧？就两种状态

然后如果前i-1位是状态0的话（只有2），那你这一位只能填0了嘛，所以status[i - 1][0]就是这样来的，如果前i-1位是状态1（有0,2），那么你现在有两种选择，填0或者是2两种情况，status[i - 1][1] * 2就是这样来的，然后把两种情况相加，就表示到第i位为止，状态为1的数共有status[i][1]这么多个

然后后面的都差不多啦，因为每一位可能会进入6种不同的状态，所以都要算出来

最后输出System.out.println(status[number][5])，因为题目要求0,1,2,3必须至少出现一次，所有我们要输出状态5的数的个数

每次都求余，这个很好理解吧？因为题目只要求求余数就可以了呀，中间结果不断取余不会有影响的

我希望能帮到你们，CCF加油啦

对了我是用java写的