算法学习笔记之快速排序

     快速排序的基本步骤是什么：

    1、 判断输入参数的合法性

    2、把数组的第一个数据作为比较的中轴数，比该数据小的数据排列在左边，比该数据大的数据排列在右边

    3、按照（2）的方法分别对左边的数组和右边的数据进行和（2）一样的数据排列

    那么实际编写代码中，应该怎么做呢？

    a）首先，判断数据的合法性？

[cpp] view plain copy

1. void quick_sort(int array[], int length)  
2. {  
3.     int median = 0;  
4.     if(NULL == array || 0 == length)  
5.         return;  
6.   
7.     _quick_sort(array, 0, length -1);  
8. }  

    b）寻找中间数，分别对左边和右边的数据进行排序

[cpp] view plain copy

1. void _quick_sort(int array[], int start, int end)  
2. {  
3.     int middle;  
4.     if(start >= end)  
5.         return;  
6.   
7.     middle = get_middle(array, start, end);  
8.     _quick_sort(array, start, middle -1);              //中轴前
9.     _quick_sort(array, middle + 1, end);               //中轴后
10. }  
11.   
12. void quick_sort(int array[], int length)  
13. {  
14.     int median = 0;  
15.     if(NULL == array || 0 == length)  
16.         return;  
17.   
18.     _quick_sort(array, 0, length-1);     //递归函数
19. }  

    c）那么这里的中间数应该怎么安排呢？

[cpp] view plain copy

1. int get_middle(int array[], int start, int end)     //以数组的第一个元素做中轴分离
2. {  
3.     int front = 0;  
4.     int tail = end - start;  
5.     int value = array[start];  
6.     int length = end - start + 1;  
7.     int loop = start + 1;  
8.       
9.     while(loop <= end){  
10.         if(array[loop] < value){  
11.             gQuickSort[front] = array[loop];  
12.             front ++;  
13.         }else{  
14.             gQuickSort[tail] = array[loop];  
15.             tail --;  
16.         }  
17.   
18.         loop ++;  
19.     }  
20.   
21.     gQuickSort[front] = value;  
22.     memmove(&array[start], gQuickSort, sizeof(int) * (length));  
23.     return start + front ;  
24. }  

    注意：这里gQuickSort是一个全局数组，主要是为了作为排序的临时数组使用，实际环境中大家可以灵活运用各种方法。   

     d）基本的快速排序就完成了，那我们怎么测试呢？我们可以编写几个简单的测试用例？

[cpp] view plain copy

1. static void test1()  
2. {  
3.     int array[] = {1};  
4.     quick_sort(array, sizeof(array)/sizeof(int));  
5. }  
6.   
7. static void test2()  
8. {  
9.     int array[] = {2, 1};  
10.     quick_sort(array, sizeof(array)/sizeof(int));  
11.     assert(1 == array[0]);  
12.     assert(2 == array[1]);  
13. }  
14.   
15. static void test3()  
16. {  
17.     int array[] = {4, 3, 2,1};  
18.     quick_sort(array, sizeof(array)/sizeof(int));  
19.     assert(1 == array[0]);  
20.     assert(2 == array[1]);  
21.     assert(3 == array[2]);  
22.     assert(4 == array[3]);  
23. }  
24.   
25. static void test4()  
26. {  
27.     int array[] = {3, 2, 1};  
28.     quick_sort(array, sizeof(array)/sizeof(int));  
29.     assert(1 == array[0]);  
30.     assert(2 == array[1]);  
31.     assert(3 == array[2]);  
32. }  

快速排序算法效率与稳定性分析

　　当基数值不能很好地分割数组，即基准值将数组分成一个子数组中有一个记录，而另一个子组组有 n -1 个记录时，下一次的子数组只比原来数组小 1，这是快速排序的最差的情况。如果这种情况发生在每次划分过程中，那么快速排序就退化成了冒泡排序，其时间复杂度为O(n²)。

　　如果基准值都能讲数组分成相等的两部分，则出现快速排序的最佳情况。在这种情况下，我们还要对每个大小约为 n/2 的两个子数组进行排序。在一个大小为 n 的记录中确定一个记录的位置所需要的时间为O(n)。若T(n)为对n个记录进行排序所需要的时间，则每当一个记录得到其正确位置，整组大致分成两个相等的两部分时，我们得到快速排序算法的最佳时间复杂性。

　　T(n) <= cn + 2T(n/2)    c是一个常数

　　　　　<= cn + 2(cn/2+2T(n/4)) = 2cn+ 4T(n/4)

　　　　　<= 2cn + 4(cn/4+ 2T(n/8)) = 3cn + 8T(n/8)

　　　　　　…… ……

　　　　　<= cnlogn + nT(1) = O(nlogn)      其中cn 是一次划分所用的时间，c是一个常数

　　最坏的情况，每次划分都得到一个子序列，时间复杂度为：

　　T(n) = cn + T(n-1)

　　　　 = cn + c(n-1) + T(n - 2) = 2cn -c + T(n-2)

            = 2cn -c + c(n - 2) + T(n-3) = 3cn -3c + T(n-3)

　　　　……

　　　　= c[n(n+1)/2-1] + T(1) =  O(n²)

　　快速排序的时间复杂度在平均情况下介于最佳与最差情况之间，假设每一次分割时，基准值处于最终排序好的位置的概率是一样的，基准值将数组分成长度为0 和 n-1，1 和 n-2，……的概率都是 1/n。在这种假设下，快速排序的平均时间复杂性为：

　　　　T(n) = cn + 1/n(T(k)+ T(n-k-1))   T(0) = c, T(1) = c

　　这是一个递推公式，T(k)和T(n-k-1)是指处理长度为 k 和 n-k-1 数组是快速排序算法所花费的时间， 根据公式所推算出来的时间为 O(nlogn)。因此快速排序的平均时间复杂性为O(nlogn)。

　　快速排序需要栈空间来实现递归，如果数组按局等方式被分割时，则最大的递归深度为 log n，需要的栈空间为 O(log n)。最坏的情况下在递归的每一级上，数组分割成长度为0的左子数组和长度为 n - 1 的右数组。这种情况下，递归的深度就成为 n，需要的栈空间为 O(n)。

　　因为快速排序在进行交换时，只是根据比较基数值判断是否交换，且不是相邻元素来交换，在交换过程中可能改变相同元素的顺序，因此是一种不稳定的排序算法。