堆排序详解

基本概念：

要了解堆排序，首先要了解什么是堆，

要了解堆，还要先了解什么是完全二叉树。

一、什么是完全二叉树？

完全二叉树（complete binary tree）有严格的形状要求：从根节点起每一层从左到右填充。一棵高度为d的完全二叉树除了d-1层以外，每一层都是满的。底层叶节点集中在左边的若干位置上。完全二叉树如下图：

二、什么是堆？

堆实际上是一棵完全二叉树，其任何一非叶节点满足性质：
a)任何一非叶节点的关键字不大于其左右孩子节点的关键字,称之为最小堆。
b)任何一非叶节点的关键字不小于其左右孩子节点的关键字,称之为最大堆。
由上述性质可知：
a)最大堆的堆顶的关键字是所有关键字中最大的。
b)最小堆的堆顶的关键字是所有关键字中最小的。

通常堆是通过一维数组来实现的，在起始位置为0的情形中：
父节点i的左子节点在位置(2*i+1);
父节点i的右子节点在位置(2*i+2);
子节点i的父节点在位置floor((i-1)/2);

一个最大堆如图：

三、完全二叉树怎么演变成一个堆？

给定一个整形数组a[]={7,4,2,9,8,5}，首先将数组视为一个完全二叉树，对其进行转换成一个堆，构造初始堆是对所有的非叶节点都进行调整，从最后一个非叶节点开始调整，使其满足堆的特性。

第一步，将数组视为一个完全二叉树：

第二步，将完全二叉树转换成一个堆：

最后得到一个最大堆：

四、如何使用堆进行排序？

基于以上堆相关的操作，我们可以很容易的定义堆排序。例如，假设我们已经读入一系列数据并创建了一个堆，一个最直观的算法就是反复的调用del_max()函数，因为该函数总是能够返回堆中最大的值，然后把它从堆中删除，从而对这一系列返回值的输出就得到了该序列的降序排列。所以，堆排序，最重要的两个操作就是构造初始堆和调整堆。

堆排序的过程是：
(1)建立一个堆H[0..n-1]。
(2)把堆首（最大值）和堆尾互换。
(3)把堆的尺寸缩小1，然后调整堆，目的构成新的堆。
(4)重复步骤2，直到堆的尺寸为1。

平均時間复杂度O(nlogn)

动态图：

下面展示如何将一个数组a[]={7,4,2,9,8,5}构建成堆进行排序：

第一步：构建初始堆：

第二步，开始排序，灰色表示被移除的堆尾（已排好序）：

五、简单例子

源码：

#include <stdio.h>/* 交换元素 */void swap(int* a, int* b) {    int temp = *b;    *b = *a;    *a = temp;}/* 调整堆 */void max_heapify(int arr[], int start, int end) {    //建立父节点下标和子节点下标    int dad = start;    int son = dad * 2 + 1;    while (son <= end) { //若子节点下标在范围內才做比较        if (son + 1 <= end && arr[son] < arr[son + 1]) //先比较两個子节点大小，选择最大的            son++;        if (arr[dad] > arr[son]) //如果父节点大于子节点代表调整完毕，直接跳出函数            return;        else { //否则交换父子內容再继续子节点和孙节点比较            swap(&arr[dad], &arr[son]);            dad = son;            son = dad * 2 + 1;        }    }}/* 堆排序 */void heap_sort(int arr[], int len) {    int i;    //初始化堆，i从最后一個父节点开始调整    for (i = len / 2 - 1; i >= 0; i--)        max_heapify(arr, i, len - 1);        //先将第一個元素和已排好元素前一位做交换，再从新调整，直到排序完毕    for (i = len - 1; i > 0; i--) {        swap(&arr[0], &arr[i]);        max_heapify(arr, 0, i - 1);    }}int main() {    int arr[] = {7, 4, 2, 9, 8, 5};    int len = sizeof(arr) / sizeof(int);        /* sort */    heap_sort(arr, len);        /* print */    int i;    for (i = 0; i < len; i++)        printf("%d ", arr[i]);    printf("\n");    return 0;}

编译运行：

原文出自：http://blog.csdn.net/daiyudong2020/article/details/52529791

End;