NOIP提高组【JZOJ4782】Math

Description

Data Constraint

Solution

考虑到是(−1)∑mj=1d(i∗j),所以我们要考虑∑mj=1d(i∗j)的奇偶性。很显然，只有当i* j为完全平方数时，d(i* j)Mod2才为1，其余Mod2后都为0。我们分解质因数设i=ap11ap22…… apkk,设p表示当p*i使p *i为完全平方数时，p最小的值为多少。我们设p=ab11ab22…… abkk那么显然p要使每一个p[i]+b[i]均为偶数，且b[i]尽量小。所以，当p[i]为奇数时，b[i]就为1，当p[i]为偶数时，b[i]就为0。那么我们就可以很快算出p的值了。

得到p后，我们考虑要怎样的j才时i*j为完全平方数。那么显然j=p*q2,q为任意数且p*q2<=m。那么我们可以发现q的取值个数为m/p−−−−√。所以，我们只要判断一下m/p−−−−√的奇偶性。m/p−−−−√为奇数则答案+1，否则答案-1。那么，这道题我们就可以用O(N*N−−√)的时间看似解决了。

但其实，这会超时……（N<=107）。

问题就出在计算p上。我们要计算一个数的的指数为奇数的的质因子的连乘时是O(N−−√)的。所以我们必须用更高级的算法！

对，就是线性筛。

设一个数i的指数为奇数的质因子的连乘是f[i]，那么对于一个质数，它的f值显然是i。那么对于一个i*d[k] (d[k]表示小于等于i的质数)，当i不是d[k]的倍数时，表明i中不含有d[k]这个因子，那么f[i *d[k]]显然等于f[i] *d[k]。当i是d[k]的倍数时，我们还要考虑f[i]中是否已经含有d[k]。（因为不是i是d[k]的倍数并不能说明d[k]在i中的指数为奇数！）假设f[i]中已经含有d[k],那么f[i *d[k]]中则要把d[k]删去，即f[i *d[k]]=f[i]/d[k]，否则f[i *d[k]]中则要把d[k]加上，即f[i *d[k]]=f[i] *d[k]。

最后O(N)扫一遍f统计一下答案即可。总时间复杂度为O(N)。（看起来解释很复杂，其实代码很短的……）

代码

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const int maxn=10000007;int f[maxn],n,i,t,j,k,l,x,y,z;ll m,d[maxn],p,ans;bool bz[maxn],bz1;int main(){//  freopen("data.in","r",stdin);    scanf("%d%lld",&n,&m);    f[1]=1;    for (i=2;i<=n;i++){        if (!bz[i]) d[++d[0]]=i,f[i]=i;        for (k=1;k<=d[0];k++){            if (i*d[k]>n) break;bz[i*d[k]]=true;            if (i%d[k]) f[i*d[k]]=f[i]*d[k];            else{                if (f[i]%d[k])f[i*d[k]]=f[i]*d[k];                else f[i*d[k]]=f[i]/d[k];                break;            }        }    }    for (i=1;i<=n;i++){        t=sqrt(m/f[i]);        if (t%2) ans--;        else ans++;    }    printf("%d\n",ans);}