网易2017年秋招编程题之暗黑的字符串解析
来源:互联网 发布:淘宝低买高卖犯法吗 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 12:49
题目:
一个只包含'A'、'B'和'C'的字符串,如果存在某一段长度为3的连续子串中恰好'A'、'B'和'C'各有一个,那么这个字符串就是纯净的,否则这个字符串就是暗黑的。例如:
BAACAACCBAAA 连续子串"CBA"中包含了'A','B','C'各一个,所以是纯净的字符串
AABBCCAABB 不存在一个长度为3的连续子串包含'A','B','C',所以是暗黑的字符串
你的任务就是计算出长度为n的字符串(只包含'A'、'B'和'C'),有多少个是暗黑的字符串。
输入描述:
输入一个整数n,表示字符串长度(1 ≤ n ≤ 30)
输出描述:
输出一个整数表示有多少个暗黑字符串
输入例子:
2
3
输出例子:
9
21
解析:
假设现在字符串中有i个字符,并且满足条件,那么第i+1个字符的选取情况与第i-1和第i个字符的状态(用S表示)有关:若S='AA',那么第i+1个字符可以选取'A','B','C'中任意一个;若S=‘AB’,那么第i+1个字符只能取'A'或'B',如果选取'C',就会产生纯净的字符串;若S='AC',那么第i+1个字符只能取'A'或'C'。由题意可知S有9种状态,其他6中状态的转移情况同理。这样,我们就可以在状态转移过程中统计暗黑的字符串的个数。此处有些类似于动态规划,不过动态规划是在每一步状态转移的时候选取最优方案,从而使最终方案最优;而此处是在状态转移过程中避免产生纯净字符串,同时统计暗黑的字符串的个数。
状态转移方程:
dp[i+1][0]=dp[i][0]+dp[i][3]+dp[i][6]
dp[i+1][1]=dp[i][0]+dp[i][3]
dp[i+1][2]=dp[i][0]+dp[i][6]
dp[i+1][3]=dp[i][1]+dp[i][4]
dp[i+1][4]=dp[i][1]+dp[i][4]+dp[i][7]
dp[i+1][5]=dp[i][4]+dp[i][7]
dp[i+1][6]=dp[i][2]+dp[i][8]
dp[i+1][7]=dp[i][5]+dp[i][8]
dp[i+1][8]=dp[i][2]+dp[i][5]+dp[i][8]
其中dp数组的第一维表示字符串长度,第二维的9个值分别表示字符串最后两个字符的9中状态,对应关系如下:
0->AA 1->AB 2->AC 3->BA 4->BB 5->BC 6->CA 7->CB 8->CC
那么dp[i][0]就表示长度为i并且最后两位字符为AA的暗黑的字符串的个数,其他同理。
上述状态转移方程中第一个式子表达的意思就是:
长度为i+1并且最后两个字符为AA的字符串来源有三类:长度为i并且最后两个字符为AA或BA或CA的字符串,添加字符A即可;其它式子同理;
源代码:
#include <iostream>#include <vector>using namespace std;long long Cal(int n){if (n == 1) return 3;else if (n == 2) return 9;vector<long long> Record(9, 1), temp;for (int i = 3; i <= n; i++){temp = Record;Record[0] = temp[0] + temp[3] + temp[6];Record[1] = temp[0] + temp[3];Record[2] = temp[0] + temp[6];Record[3] = temp[1] + temp[4];Record[4] = temp[1] + temp[4] + temp[7];Record[5] = temp[4] + temp[7];Record[6] = temp[2] + temp[8];Record[7] = temp[5] + temp[8];Record[8] = temp[2] + temp[5] + temp[8];}long long ans = 0;for (int i = 0; i < 9; i++) ans += Record[i];return ans;}int main(){int n;cin >> n;cout << Cal(n) << endl; return 0;}
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上述是我的解题思路,接下来的部分是我参考了别人的解题思路,加上自己的理解。
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上述解题思路最大的问题是状态转移方程太过复杂,究其原因,是因为对状态划分的太过细致。分析可知,我们可以将状态分为两种:一种是字符串的最后两个字符相同(用S(n)表示),另一种是最后两个字符不同(用D(n)表示)。这样划分使状态转移更加抽象,但好处是状态转移方程更加精简,处理起来更加方便。
两种状态的转移情况如下:S(i)状态添加的字符与最后两字符相等时,转化为S(i+1)状态,否则转化为D(i+1)状态;D(i)状态添加的字符与其最后字符相等时,转化为S(i)状态,与其倒数第二个字符相等时,转化为D(i+1)状态。状态转移方程如下:
S(n+1)=S(n)+D(n)
D(n+1)=2*S(n)+D(n)
源代码:
#include <iostream>using namespace std;long long Cal(int n){if (n == 1) return 3;else if (n == 2) return 9;long long S = 3, D = 6, s, d;for (int k = 3; k <= n; k++){s = S, d = D;S = s + d;D = 2 * s + d;}return S + D;}int main(){int n;cin >> n;cout << Cal(n) << endl;return 0;}
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接下来,我们可以通过上述状态转移方程式来推出该问题的递推式。我们知道,递推式描述一个问题的时候,非常精简清晰,但递推式并不是凭空产生的,一些简单问题递推式可以直接归纳出来,但一些复杂点的问题,可以通过状态转移方程来推到出来。这种思维模式在算法中很常见。
我们用F(n)表示长度为n的暗黑字符串的个数,则:
F(n)=S(n)+D(n)
=3*S(n-1)+2*D(n-1)
=2*F(n-1)+S(n-1)
=2*F(n-1)+S(n-2)+D(n-2)
=2*F(n-1)+F(n-2)
故得到递推式F(n)=2*F(n-1)+F(n-2)。
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