动态规划-金额为Sum的所有纸（硬）币组合

问题

给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, ..., Vm}，如果要组合成sum，求所有可能的组合数。

经典面试题

[华为面试题] 

1分2分5分的硬币三种，组合成1角，共有多少种组合？

[创新工厂笔试题] 

有1分，2分，5分，10分四种硬币，每种硬币数量无限，给定n分钱，有多少中组合可以组成n分钱？

解题思路：

给定一个数值sum，假设我们有m种不同类型的硬币{V1, V2, ..., Vm}，如果要组合成sum，那么我们有

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm 

求所有可能的组合数，就是求满足前面等值的系数{x1, x2, ..., xm}的所有可能个数。

[思路1] 

当然我们可以采用暴力枚举，各个系数可能的取值无非是

x1 = {0, 1, ..., sum / V1}, 

x2 = {0, 1, ..., sum/ V2}等等。

这对于硬币种类数较小的题目还是可以应付的，比如华为和创新工厂的题目，

但是复杂度也很高O（sum/V1 * sum/V2 * sum/V3 * ...）

[思路2] 

从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种硬币构成sum，

根据最后一个硬币Vm的系数的取值为无非有这么几种情况，

xm分别取｛0, 1, 2, ..., sum/Vm｝，

换句话说，上面分析中的等式和下面的几个等式的联合是等价的。

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 0 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 1 * Vm

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + 2 * Vm

...

sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + K * Vm  

　　其中K是该xm能取的最大数值K = sum / Vm。

可是这又有什么用呢？

不要急，我们先进行如下变量的定义：

dp[i][sum] = 用前i种硬币构成sum 的所有组合数

　　那么题目的问题实际上就是求dp[m][sum]，即用前m种硬币（所有硬币）构成sum的所有组合数。

在上面的联合等式中：

当xn=0时，有多少种组合呢？ 

实际上就是前i-1种硬币组合sum，有dp[i-1][sum]种！

 xn = 1 时呢，有多少种组合？ 

实际上是用前i-1种硬币组合成(sum - Vm)的组合数，有dp[i-1][sum -Vm]种; 

xn =2呢， dp[i-1][sum - 2 * Vm]种，等等。

所有的这些情况加起来就是我们的dp[i][sum]。

所以：

dp[i][sum] = 

dp[i-1][sum - 0*Vm] + dp[i-1][sum - 1*Vm]+ dp[i-1][sum - 2*Vm] + ... + dp[i-1][sum - K*Vm]; 其中K = sum / Vm

换一种更抽象的数学描述就是：

　　通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？

如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1   // i = 0, 1, 2, ... , m

　　如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。

     如果前0种硬币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0. 

求解实际问题

题目描述

假设我们有8种不同面值的硬币｛1，2，5，10，20，50，100，200｝，用这些硬币组合够成一个给定的数值n。例如n=200，例如n=200，那么一种可能的组合方式为 200 =2*100.

问总过有多少种可能的组合方式？保证n小于等于100000。

代码

import java.util.Scanner;/** * @author Administrator * */public class CoinCounts {/** * @param args */public static void main(String[] args) {Scanner in = new Scanner(System.in);while (in.hasNext()) {int num = in.nextInt();System.out.println(coin_counts(num));}in.close();}public static int coin_counts(int n) {int[] coins = { 1, 5, 10, 20, 50, 100, 200 };int[] dp = new int[100001];dp[0] = 1;for (int i = 0; i < 7; ++i) {for (int j = coins[i]; j <= n; ++j) {dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];}}return dp[n];}}

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