离散分布——二项分布、多项分布、超几何分布

二项分布

伯努利实验

介绍二项分布前，先了解一下伯努利实验。
比如一个鸡蛋是否能成功孵出小鸡，扔硬币，进入商店的人是否购买了东西，一个正在生产的产妇是生男生女，这些都是伯努利实验。它满足以下条件：1、每次只可能有两种结果；2、两次实验之间互不影响。
和伯努利实验最常见的问题就是：如果进行n次伯努利实验，每次成功概率为p，那么成功k次的概率是多少？这个概率分布就是二项分布。

R语言应用

已知某批鸡蛋的孵出率prob为0.9，抽取5个鸡蛋检查其孵化情况，这5个鸡蛋孵出1、2、3、4、5、6个小鸡的概率分别是多少？

dbinom(1,5,0.9)//0.00045dbinom(2,5,0.9)//0.0081dbinom(3,5,0.9)//0.0729dbinom(4,5,0.9)//0.32805dbinom(5,5,0.9)//0.59049

电视台的某个节目，官方预估收视率为25%，当我们电话访问了1500人之后，发现收看率只有23%。官方预估的数据准确吗？

//进行二项分布检验binom.test(1500*0.23,1500,0.25,alternative = "less")//输出p值为0.03837，小于0.05，可以确认假设成立，官方数据有水分。//换一种方式，计算1500个样本中出现23%收视率的概率，概率太小就可以此否定官方的数据。pbinom(1500*0.23,1500,0.25)//出现这种情况的概率是0.03836649，这么小概率的事件被我们碰到了，明显不可能，那就是官方的数据有水分了。

参考文档

R语言系列：常见离散分布及相关函数

多项分布

上面提到的伯努利实验每次结果有两种可能性，如果实验结果有多种可能性，实验结果就满足多项分布。这里举一些应用例子

1、某种化妆品在市场上共有4个品牌，我们从以往的销售数据可以知道它们的市场占有率分别为：10%,20%,50%,20%。可以近似认为消费者只买自己最喜欢的品牌。在商场中随机挑选10个消费者做调研，让每个人从这4个品牌中选一个自己最喜欢的品牌。那么选取各品牌的人数分别为1,2,4,3的概率有多大？
说明：10次实验，每次4个选项，概率分别为：0.1,0.2,0.5,0.2。
2、掷骰子时，一次掷出豹子的概率有多大？
只要3个点数相同，就是豹子，一共有6种豹子，且每种出现概率相同。每种骰子掷出6个点的概率相同。
说明：一次掷骰子相当于3次实验，每次实验有6种结果，概率都是1/6。

R应用

//品牌选择的概率计算dmultinom(c(1,2,4,3),prob=c(0.1,0.2,0.5,0.2));//0.0252//掷骰子掷出豹子的概率计算p1=dmultinom(c(3,0,0,0,0,0),prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6));p2=dmultinom(c(0,3,0,0,0,0),prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6));p3=dmultinom(c(0,0,3,0,0,0),prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6));p4=dmultinom(c(0,0,0,3,0,0),prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6));p5=dmultinom(c(0,0,0,0,3,0),prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6));p6=dmultinom(c(0,0,0,0,0,3),prob = c(1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6));//p1=p2=p3=p4=p5=p6=0.00462963p=0.00462963*6

超几何分布

二项分布中，每次实验互相独立。如果互相有影响，那就会出现超几何分布。

假设有一批500件的产品，次品有5个，即次品率1%，质检人员随机抽取20个进行检查。
如果采取放回抽取，那就是做20次伯努利实验，每次实验的成功概率为1%，抽取到不合格产品的概率满足二项分布。如果采取不放回抽取，抽取到不合格产品的概率就满足超几何分布。

//放回抽取，抽取到1，2，3，4，5件次品的概率dbinom(c(1,2,3,4,5),20,0.01)//输出结果为：1.652337e-01 1.585576e-02 9.609552e-04 4.125313e-05 1.333434e-06//不放回抽取，抽取到1，2，3，4，5件次品的概率dhyper(c(1,2,3,4,5),5,500,20)//输出结果为：1.697266e-01 1.338094e-02 4.986684e-04 8.757606e-06 5.778215e-08

假设我们把样子和总体的差距无限放大，是否放回对抽取结果的影响越来越小，两种情况下的概率会趋于接近

dhyper(c(1,2,3,4,5),5,500000000,20)//2.000000e-07 1.520000e-14 5.471999e-22 9.302399e-30 5.953536e-38dbinom(c(1,2,3,4,5),20,0.00000001)//2.000000e-07 1.900000e-14 1.140000e-21 4.844999e-29 1.550400e-36