数据结构总结

分类

1：并查集

2：单调队列、单调栈

3：堆、优先队列

4：树状数组

5：线段树

6：树链剖分

7：主席树

8：平衡树

9：lct

10：树套树

11：分块、莫队

 

并查集

并查集主要的用途

1：维护并查集判断是否在一个集合。

2：快速找到下一个位置，poj1456——配合贪心。

 

所遇技巧

1：分点并差集，当中分点的意义就是，根据一个物的几种状态进行分点，根据给出的条件，在相关的不同点的不同或相同状态间连边。处于一个集合，就代表他们状态是相关联的，是可以互相推出的。

同时像这种可以关系推倒的，2sat也是很常见。

2：带权并查集，维护到根节点的距离。 ——HNOI2005  狡猾的商人：带权并查集维护到根的距离，以配合差分。

 

应用：克鲁斯卡尔，lca Tarjan

 //题量不够，不好总结题型

 

 单调队列，单调栈

1：滑动窗口类型的单调队列

2：单调队列优化dp

一、一般的单调队列优化

二、斜率优化等配合凸包斜率的优化

 

堆，优先队列

只要是要求最值的，且只包含插入和询问的这种，就可以通过堆来优化到log（n）

 1：优化dp

 2：贪心:bzoj2802

//题量不够，不好总结

 

树状数组

1：二维树状数组，可以尝试推出式子，对于不同的次项，分别维护树状数组。

2：求逆序对，包括动态逆序对

3：权值树状数组——询问比一个数小的个数

4：有一些需要功能比较少的维护数据，就可以用树状数组代替线段树，像相乘、相加、取异或等连着带修改，都可以用这个来解决

本质就是优化了前缀和。

 

注意一般的树状数组要满足区间减法，可以化作两个前缀答案相减的问题才可以用。

它最基础的内容：

1：区间加---单点查询

2：单点加----区间查询

在这些情况下优先考虑树状数组，如果可以就尽量避免线段树。

 

线段树

1：纯粹数据结构题，练代码能力的

2：线段树优化dp，其实就是分析题目发现：需要区间更新单点更新，单点取值的问题就完全可以用线段树来优化。

3：线段树作为题目基本解法的辅助工具

 

超哥线段树，维护直线，实际上是运用了标记永久化思想。标记永久化许多时候可以精简代码。

 

动态开点线段树，题目可以考虑对每一种权值或颜色等，建线段树，一般来说会mle，但是当我们用动态开点线段树，均摊复杂度分析会没有问题。

同时配合线段树合并，这个线段树合并可以是权值线段树，我们知道n个单权值的线段树合起来n log n的时间，有的时候就可以代替平衡树启发式合并。

merge操作。

由此我们可以对于每一个建立动开权值线段树，支持维护多个集合，求集合第k大，求集合小于一个数的个数，插入，以及合并。

 

up的时候注意边界就好。

树链剖分

1：只做过裸题。

2：还有就是根据最多log（n）个重边的性质，进行处理（hdu4897难）

树链剖分求lca常数小。

还有长链剖分，优化dp。

主席树

1：实质就是多个线段树套在一起，这里是权值线段树

解决的问题：查询区间内一个权值在[L,R]之间的数的个数(或者其它，第k大)

要满足区间减法才可以——就是l~r的答案可以从1~r的答案减去1~l-1得出来。

关键是查询区间在某个值之下的个数

 

平衡树，set

splay：维护序列问题比较经典，基本的平衡树操作则常数会大一些。

有一些题目，暴力算法需要合并，我们也可以考虑splay启发式合并。

 

set，当只需要插入、删除、求前驱后继等，就可以直接用set。需要size域的时候就不行了

lct

只会模板：判断一个两点是否在一颗树，换根，断开一条边，连接一条边，维护路径的数据（路径更新，询问等等）。

lct实际上维护连通性，当然我们可以分析题目的性质，如果题目的数学模型，断边、连边,等等，可以考虑他们与lct操作的对应关系。

 

lct维护最大最小生成树也是很常用的，边作点来存在lct上。

 

注意，还有维护用lct维护直径这一类，经典应用。

树套树

线段树套平衡树：做过裸题。

线段树套线段树：不会、

实际上不是什么神奇的东西，还是很暴力的。

 

kd-tree

kd-tree方便处理多维偏序的问题，以及经典的最近最远点对，也可以处理矩形权值和的问题，这些查询都是依赖于估价函数搜索。

kdtree带修改很暴力的一种方法是，根n重构法。

还有一些数学问题通过建模转化为求一个半平面的值，也是可以kdtree的。

 

脑补了一个：

考虑动态开点kdtree，建立严格的平衡结构。

对于一个n*n的棋盘，我们将（n/2,n/2）这个点作为根，我每次插入一个点时，

把沿途所有点都加上，不断缩小区域，知道到那个点所处的位置，一共会新建log n个节点，复杂度科学。

 

分块，莫队

莫队：其实就是优化了顺序，把n^2的暴力优化到了n^1/2了，要能够支持快速加入一个边界的值。

优化：排序时，奇数块r递增，偶数块r递减，可以使常数减小一倍。

带修改莫队：O（n^3/5） ，就是将时间也作为关键字排序。

 

分块：其实是可以很暴力的，各种重构的情况都有可能会有，毕竟是一个暴力偏分算法。——本质还是没有学透，距离“万物皆可分块”的水平还有一段距离。

 

序列分块：就是分整块和零散的部分处理。

 

经典的预处理思路有：

 

技巧：

1：f【i】【j】是从第i块到第j块的答案

2：f【i】【j】是从第i块到第j个位置的答案

例如区间众数，和 求区间出现偶数次的数的个数 ，可以用以上方法。

同时维护一些其他信息

——g【i】【j】，表示到第i块，j元素出现的次数，以此配合思路一，也正好保证了空间复杂度，n sqrt  n；

零碎的部分就靠维护的信息来统计的。

 

技巧：

在一些分块题目中我们需要动态维护一个前缀和，是有修改的，可以树状数组处理，复杂度 n sqrt n  log n

我们可以同时将，前缀和数组分块，这样更新O（sqrt n），查询 O（1），这就把log去掉了

 

技巧：

给出长度为n的序列，m个区间，每次询问，第l个到第r个区间答案的和。需要在线修改。

很经典的，我们可以考虑对m个区间分块，每一块f【i】【j】表示第i块有多少个区间包含j位置，以此我们就可以修改统计了。

可见分块的预处理非常关键，需要开发创造性思维。

 

可持久化分块：主题思路就是每次更新，新建一块，其他的不变。

块状链表：和普通分块不同的是，这个可以支持插入，一般来说当一块过大后就将它分成两块。

 

分块技巧：有的分块需要你处理，区间内复杂情况产生贡献（bzoj3669和区间众数和作诗），但是这样我们不好处理，同时有个特点是我们通过维护

别的数据结构，可以方便的处理一个元素在区间对应产生的贡献是多少，那么我们就可以进行分块，预处理某段到某段的答案，小部分数据结构维护来搞。
 

离线数据结构问题的常用技巧

1：正序转倒序，删除转插入等等。

 

2：分治

整体二分，和cdq分治：

cdq分治主要考虑前面对于后面的贡献，对于带删除的问题可能不好处理，很经典的是k大数查询，可以使用线段树分治（下面）；

而整体二分则是把询问答案在mid之前的放在左边，mid之后的放在右边，以此处理。

甚至在某些dp题中 ，也会用分治来做，其实cdq是考虑前面对后面的贡献和影响，而dp也正是由之前的状态转移而来的，正是满足无后效性，例如货币兑换。

 

3：线段树分治

1：插入  。。。。 2：删除。。。3：询问。。。

 

这样的题目我们可以考虑，对询问建线段树，对于每一个元素，记录他所能影响到的询问区间，然后再线段树对应的区间标记。

处理i答案时，

1：可以由i到根的路径上存的所有询问来统计，要保证元素在被分组的情况下可以支持贡献的快速合并，例如去最大值取和等等。

2：如果可以支持操作的执行和撤销（可能需要数据结构），我们可以考虑对整个线段树进行遍历，在回溯时撤销就好。

 

 

4：对于排列问题或者中位数问题，可以考虑，二分然后将序列转化成只有（0,1）（1，-1）等特殊序列便于处理。

 

5：对于区间不重复问题

1：建立pre，记录前驱，转化为求有多少位置pre小于左区间端点

2：有一些题目可以在从左到右扫的过程中，只用数据结构记录最后一个位置。

 

6：向量问题

以向量问题引出凸包，就是和向量点积最大的一定在凸包上。这当然可以套上上面的那些方法

 

7：对于一些二维问题，且每一个位置和周围都有关系，那么我们就可以考虑，枚举一维，同时用数据结构维护一维。

技巧，对于数据结构问题可以试着把问题所求，转化成sigema公式，尝试转化。例如把一些项提出来，提出来的可以尝试用数据结构维护。

 

8：很多时候我们需要维护无向图的联通性，类似这样会多个约束的问题，我们可以对于右端点排序，然后所有的那些等价的约束操作，我们只记录最后一个。

 

9：要充分利用，主席树求区间小于一个数的个数这个基本用途。

 

10：对于一些区间开根，区间除的神题，可以考虑转化为部分暴力+分析区间减法。 

 

 11：区间的gcd问题可以转化为，差分序列的gcd问题，这样也就方便支持了区间修改。

 

12：对于多维偏序的问题，我们可以考虑kdtree，或者排序一维，cdq分治一维，数据结构一维，来处理这样的三位偏序问题。

 

 13：有些题目需要不断的把信息合并，或是建立在树上，同样需要自下而上合并信息，这时候需要维护有序表，我们可以考虑平衡树启发式合并，

如果键值较小，线段树合并可以去一个log，复杂度更优。