正整数n到1的最少操作次数_Glodon(6)_20160923

题目描述
实现一个函数，对一个正整数n，算得到1需要的最少操作次数：如果n为偶数，将其除以2; 如果n为奇数，可以加1或减1; 一直处理下去。

举例说明
ret = func(7);
ret = 4
可以证明最少需要4次运算：
第一次：n = 7 —–> n-1
第二次：n = 6 —–> n/2
第三次：n = 3 —–> n-1
第四次：n = 2 —–> n/2 =1

题目要求
实现函数(实现尽可能高效) int func(unsign int n);n为输入，返回最小的运算次数。给出思路(文字描述)，完成代码，并分析你算法的时间复杂度。请列举测试方法和思路。

题目分析
分解问题：n为偶数时，最小次数一定是先进行n/2(一步)，然后计算func(n/2)；n为奇数时，先进行n+1或n-1(一步)，然后计算fun(n+1)或func(n-1)，而到底是选择n+1还是n-1取决于fun(n+1)和func(n-1)哪个更小一些，所以这里要进行两次计算，选择小的那一个。如此递归地进行下去，直到n=1.
源代码

/*****************(1)使用递归*********************/int func(unsigned int n){    if(n == 1)         return 0;    if(n % 2 == 0)         return 1 + func(n/2);    else         return 1 + min(func(n - 1), func(n+1));}

由于(1)使用了递归，重复计算次数增加，时间复杂度太高，为O(nlogn)。
所以可以尝试动态规划空间换时间的策略。源代码如下：

/*****************(2)使用动态规划*********************///该算法牺牲空间换取时间，空间复杂度为O(n)，时间复杂度为O(n)int func(unsigned int n) {    if (n == 1)         return 0;    //申请一个数组存储次数    int* times = (int*)malloc(sizeof(int) * (n + 1));    times[1] = 0;    //此处进行循环，从１往后推算最小计算次数    for (int i = 2; i <= n; i ++) {        if (i % 2 == 0)             times[i] = times[i / 2] + 1;        else             times[i] = min(times[(i + 1) / 2], times[(i - 1) / 2]) + 2;    }    int result = times[n];    free(times);    return result;}

貌似还有另外一种方法使用位运算，时间复杂度同样为O(n)，等下次理解了再写。