hihocoder 1388 Periodic Signal FFT

来源：互联网发布：sql union order by 编辑：程序博客网时间：2024/05/01 15:39

http://hihocoder.com/problemset/problem/1388?sid=893835

呀，我的第一道fft

FFT是什么窝真的不太懂、、、

卷积窝也不懂

关于多项式乘法

首先把系数表达转换为点值表达，需要nlogn时间

然后点值表达计算，就可以O（n）完成

因此算法可以把时间降到nlogn

可以看到卷积套路如上图：

而本题要求的是

显然前面平方和是固定的，就是要最大化最后的

然而这不符合卷积套路，但是我们可以发现这是个【循环的乘积和】

如果我们套路地把B数组逆序一下，还是让原来相乘的那些数继续相乘。

于是下标就变成了

我们发现和卷积的形式，还略有不同。

稍作分析：

因此，我们先把B逆序后的式子展开，然后把A、B数组添零扩充为两倍，原题所要求的

其实就相当于 A正序，B逆序、扩充2倍之后，的多项式乘法，对应的C[ n-k ] + C[ 2*n-k ]

因此，我们只需要把B数组逆序，然后把数组都扩充一倍，并填充0，然后跑FFT

就可以取max 得到答案了。

这里由于FFT精度不够，用的是NTT

700ms+

#include <bits/stdc++.h>using namespace std ;typedef long long ll ;const int maxn = 131072 ;+// const ll mod = ( 1ll << 47 ) * 7 * 4451 + 1 ; const ll mod = ( 1ll << 47 ) * 7 * 4451 + 1 ;const ll g = 3 ;struct Node{    ll x, y ;    Node(ll a=0,ll b=0)    {        x=a,y=b;    }} ; ll mul ( ll x, ll y ){    return ( x * y - ( long long ) ( x / ( long double ) mod * y + 1e-3 ) * mod + mod ) % mod ;}ll power ( ll a, ll b ){    ll res = 1, tmp = a ;    while ( b )    {        if ( b & 1 ) res = mul ( res, tmp ) ;        tmp = mul ( tmp, tmp ) ;        b >>= 1 ;    }    return res ;}void DFT ( ll y[], int n, bool rev ){    for ( int i = 1, j, t, k ; i < n ; ++ i )    {        for ( k = n >> 1, t = i, j = 0 ; k ; k >>= 1, t >>= 1 )        {            j = j << 1 | t & 1 ;        }        if ( i < j ) swap ( y[i], y[j] ) ;    }    for ( int s = 2, ds = 1 ; s <= n ; ds = s, s <<= 1 )    {        ll wn = power ( g, ( mod - 1 ) / s ) ;        if ( !rev ) wn = power ( wn, mod - 2 ) ;        for ( int k = 0 ; k < n ; k += s )        {            ll w = 1, t ;            for ( int i = k ; i < k + ds ; ++ i, w = mul ( w, wn ) )            {                y[i + ds] = ( y[i] - ( t = mul ( y[i + ds], w ) ) + mod ) % mod ;                y[i] = ( y[i] + t ) % mod ;            }        }    }}void FFT ( ll x1[], ll x2[], int n ){    DFT ( x1, n, 1 ) ;    DFT ( x2, n, 1 ) ;    for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) x1[i] = mul ( x1[i], x2[i] ) ;    DFT ( x1, n, 0 ) ;    ll vn = power ( n, mod - 2 ) ;    for ( int i = 0 ; i < n ; ++ i ) x1[i] = mul ( x1[i], vn ) ;}ll x1[maxn],x2[maxn];ll s1[maxn],s2[maxn];int main(){      int t;    cin>>t;    while(t--)    {        int n,i,j,k;        cin>>n;        ll len1,len2,len=1,ans=0;        len1=len2=n;        for (int i=0; i<n; i++)scanf("%lld",&s1[i]),ans+=s1[i]*s1[i];        //  for (int i=n; i<2*n; i++) s1[i]=s1[i-n];        for (int i=0; i<n; i++)scanf("%lld",&s2[n-i-1]),ans+=s2[n-i-1]*s2[n-i-1];        //两个多项式长n，m，那么乘积长n+m-1，        //这里求最接近且大于n+m-1的2^k，方便二叉树形式的运用吧        while(len<len1*2)len<<=1;        for(i=0; i<len1; i++)            x1[i]=s1[len1-1-i];        for(i=len1; i<len; i++)            x1[i]=0;        for(i=0; i<len2; i++)            x2[i]=s2[len2-1-i];        for(i=len2; i<len; i++)            x2[i]=0;        FFT(x1,x2,len);//FFT转换成单位根形式        ll maxx=0;        for (int i=n; i<len; i++)            maxx=max(maxx,(long long )(x1[i-n]+x1[i]));        printf("%lld\n",ans-2*maxx);    }    return 0;}

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