51nod1668非010串+矩阵快速幂

如果一个01字符串满足不存在010这样的子串，那么称它为非010串。
求长度为n的非010串的个数。(对1e9+7取模)
Input

一个数n，表示长度。(n<1e15)

Output

长度为n的非010串的个数。(对1e9+7取模)

Input示例

3

Output示例

7

解释:
000
001
011
100
101
110
111

对于这样的一个式子我们可以很快的写出dp的做法

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;#define MOD 1000000007long long dp[100005][2];int main(){    int n;   // while(scanf("%d",&n)!=EOF){    for(n=1;n<=500;n++){        memset(dp,0,sizeof(dp));        dp[1][0]=dp[1][1]=1;        for(int i=2;i<=n;i++){            dp[i][0]+=dp[i-1][0];            dp[i][0]+=dp[i-1][1]-dp[i-2][0]+MOD;            dp[i][1]+=dp[i-1][1]+dp[i-1][0];            dp[i][0]%=MOD;            dp[i][1]%=MOD;        }        printf("%d\n",dp[n][0]+dp[n][1]);    }    return 0;}

然而这样的n有 1e15,不可能用这样的递推的dp去搞。
所以我们考虑那个dp的递推式子。
dp[i][0]+=dp[i-1][0];
dp[i][0]+=dp[i-1][1]-dp[i-2][0]
dp[i][1]+=dp[i-1][1]+dp[i-1][0]

。。。。。。。。。。。
dp[i][0]+=dp[i-1][0]+dp[i-1][1]-dp[i-2][0]
dp[i][1]+=dp[i-1][1]+dp[i-1][0]

维护dp[i][0],dp[i][1],dp[i-1][0],dp[i-1][1]的一个矩阵
dp[i][0],dp[i][1],dp[i-1][0],dp[i-1][1]=dp[i-1][0],dp[i-1][1],dp[i-2][0],dp[i-2][1]*
1 1 1 0
1 1 0 1
-1 0 0 0
0 0 0 0

所以，然后直接矩阵快速幂搞就好了。。
然后用dp的搞法验证下答案。好没问题，AC

2
4
7
12
21
37
65
114
200
351
616
1081
1897
3329
5842
10252
17991
31572
55405

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long LL;#define MOD 1000000007struct Mat{    int n,m;    LL mat[9][9];};Mat operator *(Mat a,Mat b){    Mat c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    c.n = a.n,c.m = b.m;    for(int i=1;i<=a.n;i++){        for(int j=1;j<=b.m;j++){            for(int k=1;k<=a.m;k++){                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%MOD;                c.mat[i][j] %= MOD;                c.mat[i][j]  = (c.mat[i][j]+ MOD)%MOD;            }        }    }    return c;}Mat operator +(Mat a,Mat b){    Mat c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    c.n = a.n,c.m = a.m;    for(int i=1;i<=a.n;i++){        for(int j=1;j<=a.m;j++){            c.mat[i][j] = (a.mat[i][j]+b.mat[i][j])%MOD;        }    }    return c;}Mat operator ^(Mat a,LL k){    Mat c;    memset(c.mat,0,sizeof(c.mat));    c.n = a.n,c.m = a.n;    for(int i=1;i<=a.n;i++)c.mat[i][i] = 1;    while(k){        if(k&1){            c = c*a;        }        a = a*a;        k>>=1;    }    return c;}void out(Mat a){    for(int i=1;i<=a.n;i++){        for(int j=1;j<=a.m;j++){            printf(j==a.m? "%I64d\n":"%I64d ",a.mat[i][j]);        }    }}LL quick_pow(LL a,LL b,LL p){    LL ret=1;    a%=p;    while(b){        if(b&1) ret=(ret*a)%p;        a=(a*a)%p;        b/=2;    }    return ret;}LL read(){    LL x=0,f=1;char ch=getchar();    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}    return x*f;}int main(){    LL n;    while(scanf("%I64d",&n)!=EOF){        if(n==1){            cout<<2<<endl;            continue;        }        else if(n==2){            cout<<4<<endl;            continue;        }        else if(n==3){            cout<<7<<endl;            continue;        }        Mat a;        a.n=a.m=4;        a.mat[1][1]=1,a.mat[1][2]=1,a.mat[1][3]=1,a.mat[1][4]=0;        a.mat[2][1]=1,a.mat[2][2]=1,a.mat[2][3]=0,a.mat[2][4]=1;        a.mat[3][1]=-1,a.mat[3][2]=0,a.mat[3][3]=0,a.mat[3][4]=0;        a.mat[4][1]=0,a.mat[4][2]=0,a.mat[4][3]=0,a.mat[4][4]=0;        Mat a0;        a0.n=1;        a0.m=4;        a0.mat[1][1]=2,a0.mat[1][2]=2,a0.mat[1][3]=1,a0.mat[1][4]=1;        Mat ans=a0*(a^(n-2));        cout<<(ans.mat[1][1]+ans.mat[1][2])%MOD<<endl;    }    return 0;}