三角不等式

1. 基本形式

对于任何实数 a,b 的所谓的著名三角不等式：

|a+b|≤|a|+|b|

其对应的等价形式为：

|α−β|≤|α−γ|+|γ−β|

简单证明，令 a=α−γ,b=γ−β，得证。等价形式对应的实际几何意义在于，从 α 到 γ 的直达距离，小于或等于经过第三点（转折） γ 的两短距离之和。当然，这一不等式还可对应于这样的基本事实，在任何三角形，两边之和大于第三边。

2. 拓展

两数之间的关系，自然可以推广到 3 个数，乃至无限多个数之间的关系。

|a1+a2+⋯+an|≤|a1|+|a2|+⋯+|an|

可通过数学归纳法进行证明，|a1+a2+⋯+an−1|≤|a1|+⋯+|an−1|，因此，|as+an|≤|as|+|an|（令 as=a1+⋯+an−1）

|a|=|(a+b)−b|≤|a+b|+|−b|=|a+b|−|b|

因此：

|a|−|b|≤|a+b|≤|a|+|b|

根据对称性，显然 a⇔b，得：

|b|−|a|≤|a+b|≤|a|+|b|

3.