剑指offer:把数组排成最小的数（java）

题目：输入一个正整数数组，把数组里面所有的数字拼接排成一个数，打印能拼接出的所有数字中的一个。例如输入数组｛3，32，321｝，则打印出这3个数字能排成的最小数字321323.

    这个题目最直接的做法应该是先求出这个数组中的所有数字的全排列，然后把每个排列拼接起来，最后求出排列起来的数字的最小值。求数组的排列和面试题28非常相似。根据排列组合的只是，n个数字总共有n!排列，我们再来看一下更快的算法。

    这道题其实希望我们能够找到一个排序规则，数组根据这个规则排序之后能排成一个最小的数字。要确定排序的规则，就要比较两个数字，也就是给出两个数字m和n，我们需要确定一个规则判断m和n哪个应该排在前面，而不是仅仅比较这两个数字的值哪个更大。

    根据题目的要求，两个数字m和n能拼接称数字mn和nm。如果mn<nm，那么我们应该打印出mn，也就是m应该拍在N的前面，那么要保持mn<nm那么我们定义m（isSmall）n，先将数组中的整数转换成字符串，定义isSmall规则：即m的第一位<n的第一位，如果相等，则比较m的下一位<n的下一位，如果mn=nm,m等于n。

public void printMin(int[] arr){          int[] clone = arr.clone();          qsort(clone,0,clone.length-1);          for(int i : clone)              System.out.print(i);      }      //规则+快排      public void qsort(int[] arr,int left,int right){          if(left < right){              int main_number = arr[right];              int small_cur = left;              for(int j = left;j<right;j++){                  if(isSmall(String.valueOf(arr[j]),String.valueOf(main_number))){                      int temp = arr[j];                      arr[j] = arr[small_cur];                      arr[small_cur] = temp;                      small_cur++;                  }              }              arr[right]= arr[small_cur];              arr[small_cur] = main_number;              qsort(arr,0,small_cur-1);              qsort(arr,small_cur+1,right);          }      }      public boolean isSmall(String m,String n){          String left = m+n;          String right = n+m;          boolean result = false;          for(int i = 0;i<left.length();i++){              if(left.charAt(i)<right.charAt(i))                  return true;              else                  if(left.charAt(i)>right.charAt(i))                      return false;          }          return result;      }  

    证明规则的有效性：自反、对称、传递

    显然aa=aa,满足自反性；

    若a(isSmall)b，则ab<ba,所以ba>ab,因此b(!isSmall)a，满足对称性；

    若a(isSmall)b，则ab<ba.假设a和b用十进制表示有l位和m位，于是ab<ba->a/(10^l-1)<b/(10^m-1)

    若b(isSmall)c,则bc<cb.假设c用十进制表示有n位,那么b/(10^m-1)<c/(10^n-1),由a(isSmall)b推出a/(10^l-1)<b/(10^m-1)，因此a/(10^n-1)<c/(10^l-1),因此a(isSmall)c，满足传递性。

   接下来证明n为数按照前面的排序规则排序之后，表示A1A2...An，仍为最小。我们使用反证法，假设这样拼接的数字并不是最小的，即存在两个x和y(0<x<y<n),交换第x个数和第y个数后，A1A2...Ay...Ax...An<A1A2...Ax...Ay...An。由于A1A2...Ay...Ax...An是按照规则排序好的，所以有Ax(isSmall)Ax+1(isSmall)Ay-1(isSmall)Ay.我们一直交换Ay和前面的数字交换，直到和Ax交换为止，于是就有A1A2...Ax...Ay-1...Ay...An<A1A2...AyAx...Ay-1...An.同理我们一直拿Ax交换它后面的数字，直到和Ay-1交换为止。于是A1A2...AyAx...Ay-1...An<A1A2...AyAx+1...Ay-1Ax...An.所以A1A2...Ax...Ay...An<A1A2...Ay...Ax...An,与假设矛盾。因此假设不成立，我们的算法正确。