第2课 矩阵消元

Elimination 消元法。

⎧⎩⎨⎪⎪x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2

A=130284111

消元法从第一行的第一个元素开始，称之为第一个主元(Pivot)。

Row2 = Row2- Row1*3。消元后(2,1)这个位置变为了0

A‘‘1‘002‘2‘41−21

然后检查(3,1)已经是0了。

然后以(2,2)为主元，消除(3,2)位置
Row3 = Row3 - 2*Row2

U=‘1‘002‘2‘01−2‘5‘

有几个约定：

1、Pivot不能是0

2、当Pivot为0时，可以通过交换行来替换主元。

如果我们把主元位置的数稍作调整，这个方程就无解了。
比如 (2,2) = 6 (3,3)=-4
这时主元将会是0。

增广矩阵 Augment Matrix

A的增广矩阵就是把b也加上去

1302841112122

U的增广矩阵同样经过 Row2 = Row2- Row1*3
和 Row3 = Row3 - 2*Row2

‘1‘002‘2‘01−2‘5‘26−10

将消元后的增广矩阵回代

⎧⎩⎨⎪⎪x+2y+z=22y−2z=65z=−10

可得解

⎧⎩⎨⎪⎪x=2y=1z=−2

Matrices

在上一节中我们把矩阵和一个列向量的乘法，看成是列向量中每一个元素对矩阵中每一列的线性组合。

⎡⎣⎢⎢..................⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢345⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢3∗column14∗column25∗column3⎤⎦⎥⎥

而对于行向量乘以矩阵

[127]⎡⎣⎢⎢..................⎤⎦⎥⎥=[1∗row12∗row27∗row3]

那么问题来了，我们需要一个什么样的矩阵能使A->A`呢？
答案是下面这个矩阵

⎡⎣⎢⎢1−30010001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢130284111⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢1002241−21⎤⎦⎥⎥

我们将新引入的矩阵称为E21，因为他是为了消去(2,1)这个元素引入的

紧接着我们再来将第3列的(3,2)也消去。同样这次引入的矩阵称为E32

⎡⎣⎢⎢10001−2001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢1002241−21⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢1002201−25⎤⎦⎥⎥

那么上述两个步骤可以用数学语言简单的描述为

E32(E21A)=U

矩阵乘法的一些性质

结合律(Associative law)

E32(E21A)=(E32E21)A

交换律

矩阵相乘并不符合

AB≠BA

Permutation 置换矩阵

Exchange rows 1 and 2(交换第一行和第2行)

[0110][acbd]=[cadb]

Exchange rows 1 and 2(交换第一行和第2行)

[acbd][0110]=[bdac]

Invese 逆矩阵

想像一下[100 −310 001]这个矩阵，经过什么变换可以变成⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥呢？

第1行和第3行不变。第2行加上Row1*3就可以了啊。相当于乘以⎡⎣⎢⎢130010001⎤⎦⎥⎥。

⎡⎣⎢⎢130010001⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢⎢1−30010001⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢100010001⎤⎦⎥⎥

我们称

⎡⎣⎢⎢130010001⎤⎦⎥⎥为E−1(逆矩阵)。

[100 −310 001]为E(初等矩阵)。

[100 010 001]为I(单位矩阵)。