面试题45：圆圈中的数字

1.题目：0,1,2.....,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈中删除掉第m个数字，求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

分析

例如，0,1,2,3,4这5个数字组成的一个圆圈，从数字0开始每次删除第三个数字，则删除的前四个数字依次是2,0,4,1，最后剩下的数字是3. 其实就是著名的Josephuse环问题。

解法一：

采用类似环形链表的方法来模型这个圆圈，可以使用模板库中的list来模拟环形链表，当每次迭代器到链表末尾的时候，把迭代器移到链表的头部，这样就相当于是环形遍历了。这种方法的时间复杂度是O(mn)，空间复杂度是O(n)。

解法二：

可以定义一个关于n和m的方程，表示每次在n个数字0，...，n-1中每次删除第m个数字最后剩下的数字。

在第n个数字中，第一个被删除的数字是（m-1）/n，可以记为k，那么删除k之后剩下的n-1个数字为0,1，..k-1,k+1,...n-1，并且下一次删除的数字从k+1开始计数，相当于k+1排在前面，形成排列K+1，...n-1，0,1，...k-1。剩下的数字也是关于m和n的函数，可以记为f‘(n-1，m),最初的序列最后剩下的数字一定是删除一个数字之后剩下的数字，即f(n,m)=f'(n-1,m).可以将新序列做出如下的映射。

源码：

/*** 功能说明：Description* 作者：K0713* 日期：2016-10-9**/#include<iostream>#include <list>using namespace std;// ====================方法1====================int LastRemaining_Solution1(unsigned int n, unsigned int m){if (n < 1 || m < 1)return -1;unsigned int i = 0;list<int> numbers;for (i = 0; i < n; ++i)numbers.push_back(i);//构建listlist<int>::iterator current = numbers.begin();while (numbers.size() > 1){for (int i = 1; i < m; ++i)//找到第m个数{current++;if (current == numbers.end())//模拟环形current = numbers.begin();}list<int>::iterator next = ++current;//保留指针if (next == numbers.end())next = numbers.begin();--current;numbers.erase(current);//释放当前第m个位置的元素current = next;}return *(current);}// ====================方法2====================int LastRemaining_Solution2(unsigned int n, unsigned int m){if (n < 1 || m < 1)return -1;int last = 0;for (int i = 2; i <= n; i++)last = (last + m) % i;return last;}int main(){cout << "---------方法1---------" << endl;int result1 = LastRemaining_Solution1(5, 3);cout << "result: " << result1 << endl;cout << "---------方法2---------" << endl;int result2 = LastRemaining_Solution2(5, 3);cout << "result: " << result2 << endl;system("PAUSE");return 0;}