什么是范数-学习

一、向量范数　

对N维度的空间Rn中任意一个向量X，按照一定的法则，有一个确定的实数与之相对应，该实数记作║x║，如果║x║满足下面的三个性质，那么我们就称║x║为向量x的向量范数。

 

⒈ 非负（正定）性：||X||>=0

  

，且

 当且仅当x=0的时候║x║=0

；

⒉ 正齐次性：对任意实数λ，均有||

λX||=|

λ| ||X||

；

⒊ 次可加性（三角不等式）：

 对任意向量y∈Rn，||X+Y||<=||X||+||Y||

令x为向量：( x1,x2,…,xn)T 

常用向量范数有4种

　　①1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│ 
　　②2-范数:║x║2=(│x1│^2+│x2│^2+…+│xn│^2)^1/2 

　　③∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│) 

 ④p-范数：║x║p=(│x1│^p+│x2│^p+…+│xn│^p)^1/p

前三种范数都是p-范数的特殊情况，其中，

向量范数的连续性:

定理3.3   设f(X)=||X||为Rn上的任一向量范数,则f(X)为X的分量x1,x2,…,xn的连续函数

定理3.4 若||X||p与||X||q为Rn上任意两种范数，则存在C1，C2>0，使得对任意X∈Rn，都有：

                C1||X||p≤||X||q ≤C2||X||p

注：同样有下列结论：存在C3,C4>0使得：

              C3||X||q≤||X||p ≤C4||X||q

注：上述性质，称为向量范数的等价性。也就是说，Rn上任意两种范数都是等价的。在讨论向量序列的收敛性时要用到向量范数的等价性。

向量序列的收敛问题

定义：假定给定了Rn空间中的向量序列X(1),X(2),...,X(k),...，简记为{X(k)}，其中X(k)=(x1(k),x2(k),...,xn(k))T，若X(k)的每一个分量xi(k)都存在极限xi，即

则称向量X= (x1，x2，...，xn)T为向量序列{X(k)}的极限，或者说向量序列{X(k)}收敛于向量X，记为

定理3.5  在空间Rn中，向量序列{X(k)}收敛于向量X的充要条件是对X的任意范数||·||，有：

 

二、矩阵范数

设A是n×n阶矩阵，A∈Rn×n     

X∈Rn，||X||为Rn中的某数，称

为矩阵A的从属于该向量范数的范数，或称为矩阵A的算子，记为||A||。

设A是n×n矩阵,║A║是n维向量范数则 

　　常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是 
　　1-范数:║A║1= max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (i=1,2,...n)（列范数，A每一列元素绝对值之和的最大值）
　　(其中∑|ai1|第一列元素绝对值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|ann|,其余类似）

　　2-范数:║A║2=( max{ λi(ATA) } ) ^1/2 ( 谱范数,即ATA特征值λi中最大者λm的平方根,其中AT为A的转置矩阵). 

　　∞-范数:║A║∞=max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|ann| } (行范数,A每一行元素绝对值之和的最大值)
　　(其中为∑|a1j| 第一行元素绝对值的和，其余类似）
　　Frobenius范数: 它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数. 
　　F-范数:||A||F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (F范数,A全部元素平方和的平方根)