秩为1的矩阵的幂规律

首先看规律：矩阵A的任何两行或者两列都成比例，可以提出比例系数，则矩阵A可以分解为两个矩阵的乘积。更一般情况是：若r(A) = 1,则A可以分解为两个矩阵的乘积。

规律知道以后，具体的乘积因子该如何确定呢？

看例题：

A=⎡⎣⎢⎢26−413−2−1−32⎤⎦⎥⎥

分析这个矩阵可以看到第二行是第一行的3倍，第三行是第一行的-2倍。
这个3x3的矩阵可以由3x1,1x3的两个矩阵得到。那么这个3x1的矩阵每一行的唯一一个数便是倍数。所以倍数构成的向量乘以第一行元素组成的向量的转置之积即为所求。

这种说法其实不适合直接记忆，要从上面的分析思路来。毕竟形式只是内容的载体。

因此：

A=⎡⎣⎢⎢13−2⎤⎦⎥⎥⋅[21−1]

从而：
A2=⎡⎣⎢⎢13−2⎤⎦⎥⎥⋅[21−1]⋅⎡⎣⎢⎢13−2⎤⎦⎥⎥⋅[21−1]
其中中间两项乘起来恰好是一个数：2+3+2=7，同时也恰恰是原矩阵的主对角线之和，这个也称作绩。

由A2=7A，则任意的An便可求。
归纳过程：
A3=A2A=7A2=72A,
A4=A2A2=7A7A=72A2=73A…
An=7n−1A

对于一般情况下：
A=⎡⎣⎢⎢a1b1a2b1a3b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3a3b3⎤⎦⎥⎥
是否可以看出每行都是bi的倍数。

也即：

A=⎡⎣⎢⎢a1a2a3⎤⎦⎥⎥⋅[b1b2b3]

换比较数学的记述方式：
α=⎡⎣⎢⎢a1a2a3⎤⎦⎥⎥
βT=[b1b2b3]

即：
A=αβT

αTβ=βTα=a1b1+a2b2+a3b3,是A的绩。

这一类的题目大多数是如此解法，总结在这里。同时这也只是特殊矩阵的一小类。

以上。