秩为1的矩阵,向量,绩的联合使用

前面专门讨论过秩为1的矩阵，由Ax=0有n-1个线性无关向量，联想到：Aα=0⋅α,知道0必是A的特征值，且是n-1重特征值。

这样的性质如果单独考察，就过于简单了。在另一篇文章中总结过秩为1的矩阵求幂的思路。

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/52805663

这个做法也是通用的，即：秩为1的矩阵可以抽出两个向量之积。这个积是：列向量x行向量。

不妨设α,β是列向量。那么αβT就是一个秩为1的矩阵。

而如果给定一个秩为1的矩阵，如何抽出两个向量呢？
行向量就是矩阵的任意一行，列向量是这一行的三个倍数。

比如：

A=⎡⎣⎢⎢26−413−2−1−32⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢13−2⎤⎦⎥⎥⋅[21−1]

还有一点非常奇妙的是：αTβ是一个数。且这个数不是随便的数。而是矩阵的绩。
其中矩阵的绩等于特征值之和。

这些知识点通过向量串起来将是非常有意思的思考过程。

举一个例子：

设A=E+αβT,其中α,β均为n维列向量，αTβ=3,则|A+2E| = ？

分析：这个考察的很有意思，需要牢牢把握上面的知识点才能解答。αβT是秩为1的矩阵，且0是它的n-1重特征值。由αTβ=3得到第三个特征值是3。则问题一下子就打开了局面：A的特征值是1（n-1重），4；
A+2E的特征值是3（n-1重）。
因此，

|A+2E|=3n−1⋅6=2⋅3n。

用的是矩阵的行列式等于矩阵的特征值之积。