codevs 1183 泥泞的道路（二分答案+spfa验证）

题目描述 Description
CS有n个小区，并且任意小区之间都有两条单向道路（a到b，b到a）相连。因为最近下了很多暴雨，很多道路都被淹了，不同的道路泥泞程度不同。小A经过对近期天气和地形的科学分析，绘出了每条道路能顺利通过的时间以及这条路的长度。
现在小A在小区1，他希望能够很顺利地到达目的地小区n，请帮助小明找出一条从小区1出发到达小区n的所有路线中（总路程/总时间）最大的路线。请你告诉他这个值。

输入描述 Input Description
第一行包含一个整数n，为小区数。
接下来n*n的矩阵P，其中第i行第j个数表示从小区i到小区j的道路长度为Pi,j。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。
接下来n*n的矩阵T，第i行第j个数表示从小区i到小区j需要的时间Ti,j。第i行第i个数的元素为0，其余保证为正整数。

输出描述 Output Description
写入一个实数S，为小区1到达n的最大答案，S精确到小数点后3位。

样例输入 Sample Input
3
0 8 7
9 0 10
5 7 0
0 7 6
6 0 6
6 2 0

样例输出 Sample Output
2.125

数据范围及提示 Data Size & Hint
【数据说明】
30%的数据，n<=20
100%的数据，n<=100，p,t<=10000

题解：这是道好题，然而我第一次看的时候非常迷，这道题应该二分什么呢?路程？时间？还是路程比时间？而且二分完怎么验证呢，每条路都有两种边权啊，所以当时一脸懵逼，直到看了大神的题解才懂了些OTZ
这道题我们可以二分答案ans，对于每条路如果（S1+S2+…+Si）/（T1+T2+…+Ti）>ans，就说明答案合法，那么我们就可以让ans更大一点，把这个式子化简一下就是（S1-T1*ans+S2-T2*ans+S3-T3*ans+…+Si-Ti*ans）> 0
所以我们可以以Si-Ti*ans为边权跑最长路，如果d[n]>0或出现正环（注意判一下正环）就说明当前的答案合法，我们就可以在右区间二分，否则就在左区间二分
PS：这题需要输出小数点后三位，所以要注意一下二分的精度，这里判一下正环是因为上面那个式子大于零就说明答案合法，如果存在正环，那么上面的式子肯定大于零，就说明答案合法233

代码如下：

#include<queue>#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;const int MAXN=233;int P[MAXN][MAXN],T[MAXN][MAXN],c[MAXN],n;double f[MAXN][MAXN],d[MAXN];bool used[MAXN];queue<int> Q;bool spfa(int s){    memset(d,-0x3f,sizeof(d));    memset(used,0,sizeof(used));    memset(c,0,sizeof(c));//每次都要初始化233     d[s]=0;    Q.push(s);    used[s]=1;    while(!Q.empty())    {        int u=Q.front();        Q.pop();        for(int i=1;i<=n;i++)        {            if(d[i]<d[u]+f[u][i])//跑最长路             {                d[i]=d[u]+f[u][i];                if(!used[i])                {                    Q.push(i);                    used[i]=1;                    c[i]++;                    if(c[i]>n) return true;//如果有正环，说明答案合法                }            }        }        used[u]=0;    }    if(d[n]>0) return true;//答案合法     else return false;}bool check(double mid){    memset(f,0,sizeof(f));//初始化     for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            f[i][j]=P[i][j]-mid*T[i][j];//存一下新的边权     if(spfa(1)) return true;    else return false;}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            scanf("%d",&P[i][j]);    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=1;j<=n;j++)            scanf("%d",&T[i][j]);    double l=0,r=100000,mid;    while(r-l>0.0001)//二分的精度     {        mid=(l+r)/2;        if(check(mid)) l=mid;        else r=mid;    }    printf("%.3lf",l);    return 0;}