BZOJ4386[POI2015] Wycieczki

BZOJ4386[POI2015] Wycieczki

Description

给定一张n个点m条边的带权有向图，每条边的边权只可能是1，2，3中的一种。

将所有可能的路径按路径长度排序，请输出第k小的路径的长度，注意路径不一定是简单路径，即可以重复走同一个点。

Input

第一行包含三个整数n,m,k(1<=n<=40，1<=m<=1000，1<=k<=10^18)。

接下来m行，每行三个整数u,v,c(1<=u,v<=n，u不等于v，1<=c<=3)，表示从u出发有一条到v的单向边，边长为c。

可能有重边。

Output

包含一行一个正整数，即第k短的路径的长度，如果不存在，输出-1。

Sample Input

6 6 11

1 2 1

2 3 2

3 4 2

4 5 1

5 3 1

4 6 3

Sample Output

4

HINT

长度为1的路径有1->2，5->3，4->5。

长度为2的路径有2->3，3->4，4->5->3。

长度为3的路径有4->6，1->2->3，3->4->5，5->3->4。

长度为4的路径有5->3->4->5。

Solution：

这是一道矩阵乘法的题。

首先来看边权是一的情况：

在n∗n矩阵中A中，Aij表示从i到j的路径条数。设Ak[i][j]表示长度为k的从i到j的路径条数。显然根据矩阵乘法Am+n=Am∗An。A1即是原图。（其实对于图上来说这与倍增Floyd的想法差不多）

要求任意两点之间的路径条数，我们可以添加一个虚拟源点，将它向其他点连边，并给它自己连一条自环（用于矩阵乘法转移）。然后Ak[0][i]就能表示以i结尾的长度为k的路径条数。

然后来看这一道题：因为矩阵乘法只能适用于边权为1的情况，而它的边权又只是1或2或3，所以我们把一个点拆成三个点，再进行连边，如图：

然后我们在这个图上做矩阵乘法（倍增Floyd），可以求出长度为2k的路径个数。因为我们拆了点，有些点是虚点，所以把每个点作为最后的倒数第二个点处理，它的贡献就是A[0][i]∗cnt[i]，即以i结尾的路径个数乘以它的出度（即将原来的点按出边长度分开处理，可以避免虚点造成的干扰）。

然后就使用倍增的试探方式求出这个答案就可以了。

本题有个神坑：

矩阵乘法（统计答案）的时候有可能爆long long，乘之前应要先判断有没有超过K，否则说明已经超过了K，就标记一下，不更新答案，直接return就可以了。

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<iostream>#define ll long long#define M 125 #define Exit {res.m[0][0]=-1;return res;}//标记返回 using namespace std;void Rd(int &res){    char c;res=0;    while(c=getchar(),!isdigit(c));    do{        res=(res<<1)+(res<<3)+(c^48);    }while(c=getchar(),isdigit(c));}int n,m,tot,id[M][3],cnt[M];ll K;struct Matrix{    ll m[M][M];    Matrix(){        memset(m,0,sizeof(m));    }    Matrix operator *(const Matrix &A)const{        Matrix res;        for(int i=0;i<=tot;i++)            for(int j=0;j<=tot;j++)                if(m[i][j]<0||A.m[i][j]<0)Exit;        for(int i=0;i<=tot;i++)            for(int j=0;j<=tot;j++)                if(m[i][j]){                    for(int k=0;k<=tot;k++)                        if(A.m[j][k]){                            if(m[i][j]>K/A.m[j][k])Exit;                            res.m[i][k]+=m[i][j]*A.m[j][k];                            if(res.m[i][j]>K)Exit;                        }                }        return res;    }}a[65],b,c;bool check(){    if(b.m[0][0]<0)return false;    ll k=0;    for(int i=1;i<=tot;i++){        if(b.m[0][i]&&cnt[i]){            if(b.m[0][i]<0)return false;            if(b.m[0][i]>K/cnt[i])return false;            k+=b.m[0][i]*cnt[i];            if(k>=K)return false;        }    }    return k<K;}int main(){    Rd(n);Rd(m);cin>>K;    for(int i=1;i<=n;i++)        for(int j=0;j<3;j++)            id[i][j]=++tot;    for(int i=1;i<=n;i++){        for(int j=0;j<2;j++)            a[0].m[id[i][j]][id[i][j+1]]++;        a[0].m[0][id[i][0]]++;    }    a[0].m[0][0]++;    while(m--){        int x,y,z;        Rd(x);Rd(y);Rd(z);        z--;        cnt[id[x][z]]++;        a[0].m[id[x][z]][id[y][0]]++;    }    ll Max=K*3,ans=0;    int len=0;    while((1LL<<len)<=Max)len++;    for(int i=1;i<len;i++)        a[i]=a[i-1]*a[i-1];    c.m[0][0]=1;    for(int i=len-1;i>=0;i--){        b=c*a[i];        if(check()){            ans|=(1LL<<i);            memcpy(c.m[0],b.m[0],sizeof(b.m[0]));        }    }    ans++;    if(ans>=Max)ans=-1;    cout<<ans<<endl;    return 0;}