LeetCode #96 Unique Binary Search Tree

LeetCode #96 Unique Binary Search Tree

问题描述
对于一个具有n个结点的二叉树，问具有多少种不同结构的二叉树？

算法分析

• 这题我们可以使用分治的思想来解决。
• 对于一个n个结点的二叉树，用f(n)表示其结构总数。
• 当确定了根节点后，我们需要将剩下的n-1个结点分配在根节点的左右子树上，当前结构总数就是左子树的结构总数与右子树的结构总数的乘积，故f(n)=∑f(left)∗f(right)
• 上述式子转化为实际后为f(n)=∑i=0n−1f(i)∗f(n−i−1)

int f(int n){    if (n==0) return 1;    int ans=0;    for (int i=0;i<n;i++)    ans+=f(i)*f(n-i-1);    return ans;}

• 显然，递归很慢而且很蠢，也很容易就能改成递推了。但尽管如此，时间复杂度仍然是O(n^2)。
• 这时候，就要发挥我们扎实的数学功底了（其实我想了半天也没做出来，是舍友凭借回忆想起来的）。上述递推式，不就是卡特兰数的递推式么？
• 于是乎，根据这个定理（我也不知道怎么推出来的！看了推导也没记住……），我们得出下式：
  
  f(n)=Cn2nn+1
• 这样的话，我们就可以用O(n)的时间复杂度解决这个问题了。
• 但是我们需要注意组合数运算过程中爆类型。可以参照一下我的代码的方法，可以使运算过程中的数字尽可能小（不能保证不爆类型）。

代码
（短的可怕）

class Solution {public:    int numTrees(int n) {        long long ans=1;        for (long long i=1;i<=n;i++) ans=ans*(n+i)/i;        ans/=(n+1);        return ans;    }};