RMQ问题解析

ST（Sparse Table，稀疏表）算法是求解RMQ问题的经典在线算法，以O(nlogn)时间预处理，然后在O(1)时间内回答每个查询。

ST算法本质上是动态规划算法，定义了一个二维辅助数组st[n][n]，st[i][j]表示原数组a中从下标i开始，长度为2^j的子数组中的最值（以最小值为例）。

要求解st[i][j]时，即求下标i开始，长度为2^j的子数组的最小值时，可以把这段子数组再划分成两半，每半的长度为2^(j-1)，于是前一半的最小值为st[i][j-1]，后一半的最小值为st[i+2^(j-1)][j-1]，于是动态规划的转移方程为：

st[i][j] = min(st[i][j-1], st[i+2^(j-1)][j-1])

长度为2^j的情况只和长度为2^(j-1)的情况有关，只需要初始化长度为2^0=1的情况即可。而长度为1时的最小值是显然的（为其本身）。现在问题是，st数组可以怎样加速我们的查询呢？

这也是算法的巧妙之处，假设求下标在u到v之间的最小值。先求u和v之间的长度len=v-u+1，然后求k=log2(len)，则u到v之间的子数组可以分为两部分：

以u开始，长度为2^k的一段
以v结束，长度为2^k的一段（可以计算得到起始位置为v-2^k+1）

注意，一般情况下这两段是重叠的，但是这两段的最小值中较小的一个仍然是u到v的最小值。于是

RMQ(u,v) = min(st[u][k], st[v-2^k+1][k])

C++代码实现如下：

#include<iostream>#include<math.h>using namespace std;int ST[10005][30];                              <span style="white-space:pre"></span>      //用于动态规划的st数组int n;                                         <span style="white-space:pre"></span>      //数组中元素的个数int A[10005];/*ST[i][j]数组表示以节点i为起点，长度为2^j个数组段中，最小的数*/void initST(){for(int i=0;i<n;i++)                       <span style="white-space:pre"></span>      //长度为2^0(也就是长度为1)的最小值就是本身ST[i][0]=A[i];}/*ST[i][j]=min{ST[i][j-1],ST[i+2^(j-1)+1][j-1]}这是一种很聪明的递推，只要是和2的次幂有关的表达式都能用这个递推，就是将2^j分成两段，每段的长度都是2^(j-1),这样由于我们很容易的求得了j为0的情况，然后就可以很容易递推出后面的情况*/int getTwo(int i){int res=1;while(i>0){res*=2;i--;}return res;}void calST(){int logs=(int)(log(n)/log(2));              <span style="white-space:pre"></span>//求出最多向上递归的次数for(int j=1;j<=logs;j++){                 <span style="white-space:pre"></span>        //因为j=0的情况在initST中已经算了for(int i=0;i<n;i++){int tmp=getTwo(j-1);if(i+tmp+1<n){                    <span style="white-space:pre"></span>//即两段都存在int tmp=getTwo(j-1);ST[i][j]=ST[i][j-1]>ST[i+tmp][j-1]?ST[i+tmp][j-1]:ST[i][j-1];//二者当中取相对小的}elseST[i][j]=ST[i][j-1];            //只剩下前半段，则只用前半段}}}/*查询的时候我们先将求出这个区间的log2值logs，然后将区间分为前后两段，前一段是以u开头，长度为2^logs,后一段是以v结尾，长度为2^logs虽然这样会有重复，但依然不会影响区间最小值，因为这些重复值也在区间呢*/int RMQ(int u,int v){int logs=(int)(log(v-u+1)/log(2));          <span style="white-space:pre"></span>//区间长度最大2的多少次幂int res=ST[u][logs]>ST[v-getTwo(logs)+1][logs]?ST[v-getTwo(logs)+1][logs]:ST[u][logs];return res;}void init(){initST();calST();}int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>A[i];}init();int m;int u,v;cin>>m;for(i=0;i<m;i++){cin>>u>>v;cout<<RMQ(u,v)<<endl;}return 0;}