[POJ3088]Push Botton Lock（dp||数学相关）

题目描述

传送门

题意：给出n个不同的球，问把这些球放入若干个不同的盒子里的方案数。n<=11.

题解

很容易想到dp。f(i,j)表示将i个小球放入j个盒子里的方案数，那么
f(i,j)=∑k=1if(i−k,j−1)∗c(n−i+k,k)，其中c为组合数。
也就是说，f(i-k,j-1)为将i-k个球放入j-1个盒子里的方案数，那么第j个盒子应该放入k个球，除了已经放进去的i-k个，还剩下n-i+k个，所以这k个球有c(n-i+k,k)种选择。

网上有的说这道题是一个经典的第二类string数的问题。第二类string数本身的问题是“s(p,k)为将p个不同的东西放到k个相同的里面去”，而这道题其实p和k都无差别。那么答案应该为k!s(p,k)，也就是将盒子全排一下。
s(p,k)的递推关系式为S(p,k)=k*s(p-1,k)+s(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1;边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0,S(p,0)=0 ,p>=1

关于第一类string数和第二类string数更详细的解释戳这里

我刚开始想错了，既用了组合数又用了阶乘，后来发现这两种方法单独做都可以，但是结合起来是没有道理的。

代码

#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>using namespace std;#define LL long long#define N 105int T,Case,n;LL c[N][N],f[N][N],ans;void clear(){    memset(f,0,sizeof(f));ans=0;}int main(){    scanf("%d",&T);    for (int i=0;i<=11;++i) c[i][0]=1;    for (int i=1;i<=11;++i)        for (int j=1;j<=11;++j)            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];    while (T--)    {        clear();        scanf("%d",&n);        if (n>11)        {            printf("%d %d 0\n",++Case,n);            continue;        }        for (int i=1;i<=n;++i) f[i][1]=1*c[n][i];        for (int i=2;i<=n;++i)            for (int j=2;j<=i;++j)            {                for (int k=1;k<=i;++k)                    f[i][j]+=f[i-k][j-1]*c[n-i+k][k];            }        for (int i=1;i<=n;++i)            for (int j=1;j<=i;++j)                ans+=f[i][j];        printf("%d %d %lld\n",++Case,n,ans);    }}

总结

①dp要想清楚再写。最好是算一算样例。尤其是状态不要搞乱了。