【bzoj 十连测】[noip2016十连测第八场]Problem A: 神炎皇（数学相关：线性筛）

Problem A: [noip2016十连测第八场]神炎皇

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Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Input

一行一个整数n,n<=100000000000000

Output

一行一个整数表示答案，保证不超过64位整数范围。

Sample Input

21

Sample Output

11

HINT

【题解】【数学相关】
【撑着头想了半晚上。。。然后，脑子里莫名想到：求一个gcd(a,b)=d,然后求(a'+b')*d|a'*b'*d²的个数，这样一来，必然有：(a'+b')*d<=n,就可以在根号n的范围内求a'+b'。然后、我就不知道了。。。心塞心塞】
【莫名爆正解。。。其实我想的思路是对的，只是没有考虑到接下来该怎么办。仔细观察(a'+b')*d|a'*b'*d²=>(a'+b')|a'*b'*d，我们可以发现：a'、b'互质，那么它们乘起来必然除了1和它本身及a'、b'外，没有其他因子。那么，在这种情况下，想要上式成立，必须要(a'+b')|d，那么，我们要求(a'+b')=k，在这种情况下，我们只需要求gcd(a',k)=1和gcd(b',k)=1的种类数，因为如果a'或b‘与k有公因数，那么K可以再缩小。那么，d*k<=n => d<=(n/k²),求<=k的范围内有多少数与K互质，即求φ(k),线性筛求解】 

#include<cmath>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;ll n,m,ans;int prime[10000010],phi[10000010];bool p[10000010];inline void shai(){      phi[1]=1;     for(int i=2;i<=m;++i)     {        if(!p[i])         {            p[i]=1;            prime[++prime[0]]=i;            phi[i]=i-1;         }        for(int j=1;j<=prime[0];++j)         {            if((ll)i*prime[j]>m) break;            p[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);             else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; }         }        ans+=(ll)phi[i]*(ll)(n/i/i);     }}int main(){    scanf("%lld",&n);    m=sqrt(n);    shai();    printf("%lld\n",ans);    return 0;}