荷兰国旗问题(改造快速排序)

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题目

         问题：现有红、白、蓝三个不同颜色的小球，乱序排列在一起，请重新排列这些小球，使得红白蓝三色的同颜色的球在一起。

         PS：之所以叫荷兰国旗问题，是因为可以将红白蓝三色小球想象成条状物，有序排列后正好组成荷兰国旗，如下图：

算法解析

         为了解决此问题，所以问题转换为：给定数组A[0…N-1]，元素只能取0、1、2三个值，设计算法，使得数组排列成“00…0011…1122…22”的形式。

         然后借鉴快速排序中partition的过程。定义三个指针：begin=0、cur=0、end=N-1，接下来进行判断：

                   A[cur]==0时：

                            若begin==cur，则begin++，cur++

                            若begin≠cur，则说吗A[begin]一定不是0，而我们的目的是0在最前面，所以A[cur]与A[begin]交换，begin++，cur++

                   A[cur]==1时：因为上面的判断可以保证所有的0都在最前面，所以这里直接cur++，begin不变，end不变就好。

                   A[cur]==2时：A[cur] 与A[end]交换，end--，cur不变，这样2就一定能在最后

         写成代码的话就是：

                   while(cur<= end) {

                            if(a[cur] == 2){

                                     swap(a[end],a[cur]);

                                     end--;

                            }else if (a[cur] == 1) {

                                     cur++;

                            }else {

                                     if( begin == cur ) {

                                               begin++;

                                               cur++;

                                     } else {

                                               swap(a[begin], a[cur] );

                                               begin++;

                                               cur++;

                                     }

                            }

                   }

        

利用循环不变式进行解释

         一开始给数组添加了begin,cur, end是可以把数组分成4个空间的，如下：

                   A       [0, begin)

                   B       [begin, cur)

                   C       [cur, end)

                   D      [end, N-1]

         而一开始begin,cur都指向开始，end指向0，所以A, B, D一开始时 ∅。

         当然不管什么时候A, B,D这三个区间都是我们已经控制住的区域，因为：

                   A中一定都是0；

                   B中一定都是1(因为如果begin和cur都是0，则它们都会向后移动一位，于是只要begin和cur分开，则begin一定指向了1(PS：begin后面可能还有0))；

                   D中一定都是2；

                   只有C才是有待考察的。

         于是C中如果是0，就扔到A中，是1就扔到B中，是2就扔到D中，即：遍历cur，根据a[cur]的值做相应处理，直到区间[cur,end]为空，即cur==end时退出。

其他

         话又说回来，荷兰国旗问题中只有0,1,2三个数，那我们能不能这样：

                   从头到尾扫一遍，记录下0,1,2的数量，假设有八个0，五个1，3个2，那我们就直接把前八个清为0，中间五个清为1，后面3个清为2。

         当然可以，不过这样干太不讲理了，而且这个实际作用不大，比如，可以使用荷兰国旗问题优化快速排序（见下面）。

         当然如果全是int是能这样做的(┑(￣Д ￣)┍)。

改造快速排序

         如果这么定义：

                   A[i]< key时相当于“荷兰国旗问题”中的0

                   A[i]= key时相当于“荷兰国旗问题”中的1

                   A[i]> key时相当于“荷兰国旗问题”中的2

         这样就可以使用“荷兰国旗问题”的解法来解决快速排序了，这样一来，即使待排序的元素中有一些元素和key一样，也能保证时间复杂度是最差是NlogN的，因为对于待排序的等于Key的数值，可以在执行下一次Partition时直接跳过，利于数据规模的降低。