codeforces 724F. Uniformly Branched Trees

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/724/F
题目大意：给定三个数n,d,mod，求有多少种n个点的不同构的树满足：除了度数为1的结点外，其余结点的度数均为d。答案对质数mod取模。
数据范围：1 ≤ n ≤ 1000, 2 ≤ d ≤ 10, 10^8 ≤ mod ≤ 10^9

题解：看到题目不难想到是树形dp。首先我们考虑有根树，f[i][j][k]表示有 i 个结点，根结点有 j 棵子树，每棵子树大小不超过k的方案数。有两种情况：
1.所有的子树大小都小于k，转移到f[i][j][k-1]。
2.有 l (l>0)棵子树大小为k，结果应为f[i-l*k][j-l][k-1]*C（f[k][d-1][k-1]+l-1，l）。注：C（X+l-1，l）表示从X种方案中选取 l 种，可以重复。
求出了有根树的方案数，我们需要转化成无根树。上述方案会重复计算答案的值，是因为同一棵树选取不同的结点作根时在 f 中表现出的状态是不同的，所以我们应该找到一个特殊的结点作为根，即树的重心，因为树的重心只有一个或两个。我们知道，对于一棵树的重心，它的子树大小不会超过n/2，所以答案为f[n][d][n/2]。而当一棵树有两个重心时，说明这棵树的重心的最大子树恰好有n/2（n为偶数）个点，此时应该减去重复（即两个重心在 f 中表示的状态不同时）的方案数C（f[n/2][d-1][n/2]，2）。
最后，当n<=2时没有度数为d的点，此时特判一下就可以了。
时间复杂度O（n^2*d^2）

代码如下：

#include <algorithm>#include <cstdio>int f[1005][11][1005],g[1005][11],ine[11],n,d,mo;int inv(int x){    int i=1,y=mo-2;    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mo)        if (y&1) i=1ll*i*x%mo;    return i;}int main(){    scanf("%d%d%d\n",&n,&d,&mo);    for (int i=0;i<=n;i++) f[1][0][i]=1;    for (int i=1;i<=d;i++) g[1][i]=1;    for (int i=1;i<=d;i++) ine[i]=inv(i);    for (int i=2;i<=n;i++)    {        for (int j=1;j<=d;j++)        {            for (int k=1;k<i;k++)                for (int l=1;l<=j && l*k<=i;l++)                    f[i][j][k]=(f[i][j][k]+1ll*f[i-l*k][j-l][k-1]*g[k][l])%mo;            for (int k=1;k<=n;k++) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j][k-1])%mo;        }        g[i][1]=f[i][d-1][n];        for (int j=2;j<=d;j++)            g[i][j]=1ll*g[i][j-1]*(f[i][d-1][n]+j-1)%mo*ine[j]%mo;    }    int ans;    if (n<=2) ans=1;        else ans=f[n][d][n/2];    if (n>2 && !(n&1))        ans=(ans-1ll*(f[n/2][d-1][n/2]-1)*f[n/2][d-1][n/2]%mo*ine[2]%mo+mo)%mo;    printf("%d\n",ans);}