【bzoj3219】巡游tour

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3219
题目大意：给出一棵n个点n-1条边的树，求出一条包含[L,R]条边的路径，使得这条路径上的边权的中位数尽量大，输出这个答案。
数据范围：n<=100 000，1<=L<=R<=n-1

题解：因为要使得中位数尽量大，所以我们采用二分判定。对于当前二分出的答案mid，把所有边权比它小的边看成-1，边权大于等于它的边看成1，这样当某条路径的边权和大于等于0时，说明在这条路径上有不少于一半的边大于等于mid，即这条路径的中位数大于等于mid。
于是问题就转化成了，在树上找一条长度在[L,R]之间的路径，使得它的边权总和大于等于0，可以用树分治来解决。
接下来的问题是如何判定。
假设点 i 到根的距离为dep[ i ]，边权和为g[ i ]，那么我们应该找到一个 j 满足到根的距离dep[ j ]∈[L-dep[i],R-dep[i]]的g[ j ]的值最大的点，判断g[i]+g[j]是否大于等于0。我们发现，对于dep相同的点，我们只需要取最大的就可以了，设 f [ j ]=max(g[v]),其中dep[v]=j，对于 i ，寻找的区间应该是 f [L-dep[i]…R-dep[i]]。当前点的dep改变时，相应的寻找区间也跟着移动，当我们使用bfs遍历根的子树时，当前点的dep值是非降序的，寻找的区间的移动方向也是固定的。具体来说，当dep增大时，L-dep[i]和R-dep[i]相应减小。所以我们可以用一个单调队列来处理，当dep增加时，把dep大于R-dep[i]的点从队头删除，如果dep[i]<=L，把 f [L-dep[i]]加入队尾，然后每次判断队头+g[i]是否大于等于0就可以了。
由于每次遍历一个新的子树时，一开始应该把[maxdep,L]范围内的点存入队列（其中maxdep为之前子树的最大深度），这样如果第一个子树很大，而后面的子树很小时（这是有多坑才能有这种数据），时间复杂度可能会退化成平方级别。所以我们一开始先做一遍树分治预处理，把每一次的重心的子树按子树中最大深度从小到大排序，然后重新连边，这样遍历到一个新的子树时，maxdep的值不会大于当前子树的深度。到此，问题解决。
时间复杂度O（n*log^2n）

（ps：大视野上好像并没有十分刁钻的数据，所以不预处理排序虽然比较慢但是也能过。并且由于预处理代码实在太丑(事实上本蒟蒻的代码都很丑)，所以把没有预处理的版本也贴了上来）

代码如下：

1.非预处理版本

#include <algorithm>#include <cstdio>const int N=100005;int to[N*2],ne[N*2],val[N*2],v[N*2],fi[N],V[N],num[N],mx[N],fa[N],    dep[N],f[N],g[N],q[N],d[N],u[N],n,L,R,tot=0,cur,rt;void add(int x,int y,int z){    to[++tot]=y;val[tot]=z;ne[tot]=fi[x];fi[x]=tot;}void findrt(int x){    num[x]=1;mx[x]=0;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]] && to[i]!=fa[x]){        fa[to[i]]=x;        findrt(to[i]);        num[x]+=num[to[i]];        mx[x]=std::max(mx[x],num[to[i]]);    }    mx[x]=std::max(mx[x],cur-num[x]);    if (mx[x]<mx[rt]) rt=x;}bool work(int x,int sum){    if (sum<=L) return 0;    cur=sum;rt=0;    findrt(x);u[x=rt]=1;    int maxdep=0;f[0]=0;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]]){        int s=1,t=1,head=1,tail=0;        for (int j=maxdep;j>=L;j--){            for (;head<=tail && f[d[tail]]<=f[j];tail--);            d[++tail]=j;        }        fa[q[1]=to[i]]=x;dep[to[i]]=1;g[to[i]]=v[i];        for (;s<=t;s++){            for (;head<=tail && d[head]+dep[q[s]]>R;head++);            if (dep[q[s]]<=L){                for (;head<=tail && f[d[tail]]<=f[L-dep[q[s]]];tail--);                d[++tail]=L-dep[q[s]];            }            if (head<=tail && f[d[head]]+g[q[s]]>=0) return 1;            if (dep[q[s]]>=R) continue;            for (int j=fi[q[s]];j;j=ne[j])            if (!u[to[j]] && to[j]!=fa[q[s]]){                fa[q[++t]=to[j]]=q[s];                dep[to[j]]=dep[q[s]]+1;                g[to[j]]=g[q[s]]+v[j];            }        }        maxdep=std::max(maxdep,dep[q[t]]);        for (int j=1;j<=t;j++) f[dep[q[j]]]=std::max(f[dep[q[j]]],g[q[j]]);    }    for (int i=0;i<=maxdep;i++) f[i]=-n;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]]){        if (num[to[i]]>num[x]) num[to[i]]=sum-num[x];        if (work(to[i],num[to[i]])) return 1;    }    return 0;}bool check(int mid){    for (int i=1;i<=tot;i++)        if (val[i]<mid) v[i]=-1;else v[i]=1;    for (int i=0;i<=n;i++) u[i]=fa[i]=0,f[i]=-n;    mx[0]=n;    return work(1,n);}int main(){    scanf("%d%d%d\n",&n,&L,&R);    for (int i=1;i<n;i++){        int x,y,z;        scanf("%d%d%d\n",&x,&y,&z);        add(x,y,z);add(y,x,z);V[i]=z;    }    std::sort(V+1,V+n);    int m=std::unique(V+1,V+n)-V-1;    V[0]=-1;    int l=1,r=m,ans=0,mid;    for (;l<=r;){        mid=(l+r)>>1;        if (check(V[mid])) ans=mid,l=mid+1;            else r=mid-1;    }    printf("%d\n",V[ans]);}

2.预处理版本

#include <algorithm>#include <cstdio>const int N=100005;int to[N*2],ne[N*2],val[N*2],v[N*2],fi[N],V[N],num[N],mx[N],    fa[N],dep[N],f[N],g[N],q[N],d[N],u[N],w[N],a[N],ad[N*2],    n,L,R,tot=0,cur,rt,cnt=0,now;bool cmp(int x,int y){return ad[x]<ad[y];}void add(int x,int y,int z){    to[++tot]=y;val[tot]=z;ne[tot]=fi[x];fi[x]=tot;}void findrt(int x){    num[x]=1;mx[x]=0;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]] && to[i]!=fa[x]){        fa[to[i]]=x;        findrt(to[i]);        num[x]+=num[to[i]];        mx[x]=std::max(mx[x],num[to[i]]);    }    mx[x]=std::max(mx[x],cur-num[x]);    if (mx[x]<mx[rt]) rt=x;}void Pre(int x,int sum){    cur=sum;rt=0;    findrt(x);u[x=rt]=1;    if (sum<=L) return;    w[++cnt]=x;    int m=0;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]]){        int s=1,t=1;        fa[q[1]=to[i]]=x;dep[to[i]]=1;        for (;s<=t;s++){            if (dep[q[s]]>=R) continue;            for (int j=fi[q[s]];j;j=ne[j])            if (!u[to[j]] && to[j]!=fa[q[s]]){                fa[q[++t]=to[j]]=q[s];                dep[to[j]]=dep[q[s]]+1;            }        }        ad[a[++m]=i]=dep[q[t]];    }    else ad[a[++m]=i]=n;    std::sort(a+1,a+m+1,cmp);    fi[x]=a[1];    for (int i=1;i<m;i++) ne[a[i]]=a[i+1];    ne[a[m]]=0;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]]){        if (num[to[i]]>num[x]) num[to[i]]=sum-num[x];        Pre(to[i],num[to[i]]);    }}bool work(){    if (now>=cnt) return 0;    int x=w[++now];    u[x]=1;    int maxdep=0;f[0]=0;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])    if (!u[to[i]]){        int s=1,t=1,head=1,tail=0;        for (int j=maxdep;j>=L;j--){            for (;head<=tail && f[d[tail]]<=f[j];tail--);            d[++tail]=j;        }        fa[q[1]=to[i]]=x;dep[to[i]]=1;g[to[i]]=v[i];        for (;s<=t;s++){            for (;head<=tail && d[head]+dep[q[s]]>R;head++);            if (dep[q[s]]<=L){                for (;head<=tail && f[d[tail]]<=f[L-dep[q[s]]];tail--);                d[++tail]=L-dep[q[s]];            }            if (head<=tail && f[d[head]]+g[q[s]]>=0) return 1;            if (dep[q[s]]>=R) continue;            for (int j=fi[q[s]];j;j=ne[j])            if (!u[to[j]] && to[j]!=fa[q[s]]){                fa[q[++t]=to[j]]=q[s];                dep[to[j]]=dep[q[s]]+1;                g[to[j]]=g[q[s]]+v[j];            }        }        maxdep=std::max(maxdep,dep[q[t]]);        for (int j=1;j<=t;j++) f[dep[q[j]]]=std::max(f[dep[q[j]]],g[q[j]]);    }    for (int i=0;i<=maxdep;i++) f[i]=-n;    for (int i=fi[x];i;i=ne[i])        if (!u[to[i]] && work()) return 1;    return 0;}bool check(int mid){    for (int i=1;i<=tot;i++)        if (val[i]<mid) v[i]=-1;else v[i]=1;    for (int i=0;i<=n;i++) u[i]=0,f[i]=-n;    now=0;    return work();}int main(){    scanf("%d%d%d\n",&n,&L,&R);    for (int i=1;i<n;i++){        int x,y,z;        scanf("%d%d%d\n",&x,&y,&z);        add(x,y,z);add(y,x,z);V[i]=z;    }    mx[0]=n;    Pre(1,n);    std::sort(V+1,V+n);    int m=std::unique(V+1,V+n)-V-1;    V[0]=-1;    int l=1,r=m,ans=0,mid;    for (;l<=r;){        mid=(l+r)>>1;        if (check(V[mid])) ans=mid,l=mid+1;            else r=mid-1;    }    printf("%d\n",V[ans]);}