KMP算法

这个算法研究了一天，从理论推导到C语言实现，作为初学者，还是不太容易，尤其很多资料对于next矩阵有的从0开始有的从1开始。作为初学者尤其是在具体实现是可能会搞混，但其实其本质是一样，首先需要理解算法的本质，然后再考虑形式上差异就会比较容易。
首先简单介绍朴素的模式匹配算法，然后详细介绍KMP算法。

朴素的模式匹配算法

从两张图可以看出，朴素的匹配算法是在发现不完全匹配后，匹配字符串向后平移一个单位，继续匹配；不难发下i值在第一次匹配中走到3；发现不等，第二次匹配又从新从1开始；也就是说i值发生了回溯。
对于本图中的匹配字符串可以发现，ababcx中存在重复的字符；所以在第一次匹配发现i=3与j=3处的值不相等，此时由于j=0处的值和j=1处的值不相等，但是j=1处的值与i=1处的值相等，所以j=0与i=1处的值一定不相等，所以第二次的匹配是多余的，为了进一步提高匹配效率，伟大的前人提出了KMP算法。

KMP算法

从上图中可以看出，有效的匹配应该是从j=0与i=2处对其开始匹配，但是由于j=0与j=2处的值是相等的，所以该位不用匹配，从j=1，i=3开始匹配，如图

可以发现，这种匹配方法中i值并没有发生回溯，当然了j值发生了回溯；所以KMP算法其实是一种j值回溯的算法。
那么如何确定j值该回溯到什么位置呢?这就是很多资料中提到的next数组的求取。
之所以j值回溯是因为匹配字符串中存在相同的字符，倘若匹配字符串中没有相同的字符，其实KMP算法与朴素匹配算法相同，因为KMP算法的j值回溯也会回溯到0。
所以next数组的求取，其实是对匹配字符串的相似度的求取；
相似度求取方法如下：
以ababcx为例

关于相似度的求取有必要介绍一下前后缀；
前后缀都是在当前字符之前的字符串中的；
例如c，前后缀是在abab中找的，前缀有aba，ab，a；后缀有bab，ba，b；
其实相似度指的就是前后缀相似度；
j=0时：a不存在前后缀，相似度为0；
j=1时：b的前缀为a；不存在后缀；相似度为0；
j=2时：a的前缀为a;后缀为b；相似度为0；
j=3时：当b的前缀为ab时后缀为ba相似度为0；
当b的前缀为a是，后缀为a；相似度为1；
j=4时：c的前缀：aba对应后缀bab相似度为0；
c的前缀：ab对应后缀ab相似度为2；
c的前缀：a对应后缀b相似度为0；
j=5时：前缀：abab 后缀：babc
aba abc
ab bc
a c
相似度是指前后缀中相同字符串的最大长度；所以j=4相似度为2；
j=5相似度为0；
再举个例子：abcabx

再举个复杂的例子：
ababaaaba

以上是关于next数组的求法。但是不同的资料可能求得的结果不同，原因在与j值不同，文章开头提到的有的资料j从0开始取，有的资料j从1开始取；
本文j从0开始取；这样有利于C语言实现；因为数组一般会从0开始。接下来介绍一下二者的差别，以及二者如何相互转化。

j从0开始与从1开始的差别以及二者的转化

首先需要考虑next数组的本质，next数组是为了在i与j处字符不同时，用来确定j回溯到什么位置的。
举个例子：
这是j从0开始的示例：

从两图中可以看出，b（j=3）处不相等了，此时回溯，next[3]=1;所以j回溯到1；
倘若j是从1开始的，那么他的相似度与上文介绍的有差异；
看图：


容易看出这样j回溯到的位置应该为2而非1；
这样看来差异只不过是标号的问题，但是回溯都是回溯到b；其实是这样的，但是在有些资料中可以看到，即使是j从1开始，但是并不是把j从0开始的next数组元素加一得到；而是j=1时，next[j]=0;其他位置由j从0开始的next数组元素加1得到。我理解是为了代码实现的方便，让next[1]=0，但是具体就不知道是不是这样了，欢迎大家留言讨论；个人习惯使用从0开始，从1开始各种处理比较复杂。
本问主要介绍算法的理论部分，代码部分会在下一篇博文中介绍；主要实现朴素模式匹配和KMP模式匹配两种算法，比较其差异。