分组

题目大意

给n个数分组，每一组的代价是最大值与最小值的差。
求有多少种分组方案，使得代价和不超过m。

DP

先想想一个朴素的dp。
将这些数从大到小排序，设Fi,j,k表示做完了第i个数，目前有j个未填入最小值的组，代价和为k。
第一种转移，第i+1个数单独作为一组：
*1->Fi+1,j,k
第二种转移，第i+1个数不作为最小值的填入一个组：
*j->Fi+1,j,k
第三种转移，新建一个以第i+1个数为最大值的组：
*1->Fi+1,j+1,k+a[i+1]
第四种转移，将第i+1个数作为最小值填入一个组：
*j->Fi+1,j-1,k-a[i+1]
这样做复杂度无法承受，因为第三维到了sigma{a}那么大。

优化

考虑差分，设si=ai-ai-1
那么aj-ai=sj+sj-1+sj-2+……+si+1
现在我们不妨从小到大排序，再来看看dp变成了什么样：
第一种转移，第i+1个数单独作为一组：
*1->Fi+1,j,k+s[i+1]*j
第二种转移，第i+1个数不作为最大值的填入一个组：
*j->Fi+1,j,k+s[i+1]*j
第三种转移，新建一个以第i+1个数为最小值的组：
*1->Fi+1,j+1,k+s[i+1]*j
第四种转移，将第i+1个数作为最大值填入一个组：
*j->Fi+1,j-1,k+s[i+1]*j
接下来第三维就是严格不下降的，所以至多为m。
复杂度n^2m

#include<cstdio>#include<algorithm>#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)using namespace std;typedef long long ll;const int maxn=200+10,maxm=1000+10,mo=1000000007;int f[2][maxn][maxm],a[maxn],s[maxn];int i,j,k,l,t,n,m,ans;int read(){    int x=0,f=1;    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9'){        if (ch=='-') f=-1;        ch=getchar();    }    while (ch>='0'&&ch<='9'){        x=x*10+ch-'0';        ch=getchar();    }    return x*f;}int main(){    freopen("group.in","r",stdin);freopen("group.out","w",stdout);    n=read();m=read();    fo(i,1,n) a[i]=read();    sort(a+1,a+n+1);    fo(i,1,n) s[i]=a[i]-a[i-1];    f[0][0][0]=1;    fo(i,0,n-1){        fo(j,0,n)            fo(k,0,m)                f[1-i%2][j][k]=0;        t=1-i%2;        l=i%2;        fo(j,0,n)            fo(k,0,m){                if (k+s[i+1]*j>m) break;                if (f[l][j][k]){                    (f[t][j][k+s[i+1]*j]+=f[l][j][k])%=mo;                    (f[t][j][k+s[i+1]*j]+=(ll)f[l][j][k]*j%mo)%=mo;                    (f[t][j+1][k+s[i+1]*j]+=f[l][j][k])%=mo;                    if (j) (f[t][j-1][k+s[i+1]*j]+=(ll)f[l][j][k]*j%mo)%=mo;                }            }    }    fo(k,0,m) (ans+=f[n%2][0][k])%=mo;    printf("%d\n",ans);}