【训练题】小树 | 计算树上各点的深度和到根的距离

【问题描述】
给定一棵边带权的有根树，树中包含n个结点（编号为0..n-1），其中根结点的编号为0。你的任务是在树中找出一个结点集合{a1,a2,…,am}，集合需要满足如下三个条件：
1）、根结点不在集合中，即0 < ai < n (1 ≤ i ≤ m)；
2）、集合中任意两个结点的最近公共祖先一定是根结点；
3）、设 wi 为结点 ai 到根的路径上包含的边的权值和，di 为结点 ai 到根的路径上包含的边的数目，那么集合中的 ∑wi/∑di 要达到最大（1 ≤ i ≤ m）。

【输入格式】
第1行为整数n，表示树的结点数量，接下来的n-1行，每行包含3个整数：u,v,c，表示一条有向边的起点为u，终点为v，边的权值为c。

【输出格式】
对于每组数据输出一行，为一个实数，表示最大的∑wi/∑di，四舍五入保留2位小数。
【输入样例】
【样例1】

20 1 2

【样例2】

30 1 10 2 2

【输出样例】
【样例1】

2.00

【样例2】

2.00

【数据范围】
1 ≤ n ≤ 1000

【来源】
中山大学2004年集训队内部选拔赛

思路：
最开始看到题目以为是0/1分数规划。后来看到了Lebmond发的题解——Cpp环境【中山大学2004年集训队内部选拔赛】【CQYZOJ1595】小树，可以证明的是：只选一个点是最优解或者最优解之一。

假设存在多个点使得他们的∑wi/∑di是所有解中最大的。为了便于理解，不妨假设存在两个点。那么一定就是说这两个点比其他的所有值都大。
1.如果两个节点的都不相同，那么有一定落在和之间。那么如此一来，我们可以只取比值更大的一者，使得答案更优。就像两个铁球同时落地的推论一样，如果亚里士多德的推论成立，那么一个轻一点的小球和重一点的小球绑在一起从高处丢下时，重球在下降时会有一个来自轻球的往上拉的力，轻球也有一个来自重球的向下拉的力，那么绑在一起后，新的速度会比重的小球单独下落慢，比轻球单独下落快。
2.如果两个节点的相同，那么有等式：==（小学的等比定理），答案同只取两者中的一个点一样。

代码如下：

#include<cstdio>#include<vector>#include<cstring>#include<queue>#define maxn 1005using namespace std;int n,dist[maxn],dep[maxn];vector<int>g[maxn],w[maxn];double ans=0;bool inq[maxn];void BFS(int s){    queue<int>q;    dist[s]=0;    inq[s]=1;    dep[s]=0;    q.push(s);    while(!q.empty())    {        int i=q.front(); q.pop();        for(int k=0;k<g[i].size();k++)        {            int j=g[i][k],c=w[i][k];            if(inq[j]) continue;            dist[j]=dist[i]+c;            dep[j]=dep[i]+1;            inq[j]=1;            q.push(j);            ans=max(ans,(double)(dist[j]*1.0)/dep[j]);        }    }}void solve(){    BFS(0);    ans=(int)(ans*100+0.5);    ans/=100;    printf("%.2lf",ans);}int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<n;i++)    {        int u,v,c;        scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);        g[u].push_back(v);        g[v].push_back(u);        w[u].push_back(c);        w[v].push_back(c);    }    solve();    return 0;}