[bzoj 1879] [Sdoi2009]Bill的挑战：状压DP，自创数学公式（?）

题意：给N个（1<=N<=15）含小写字母、?的长度不超过50的等长字符串，求有多少个含小写字母的字符串和恰好K个串匹配。?可匹配任意字符。

把它想简单一点就是一道状压DP。

网上看到的解法：设f[i][j]为恰好和集合j中字符串匹配的字符串数目，从f[i-1][j]转移即可。直接跑时间复杂度是O(L2n|Σ|n)，用O(L|Σ|n)时间预处理每个位置每个字符能匹配哪些字符串，DP的时间可优化为O(L2n|Σ|)。其实不太明白为什么要状压，预处理之后暴搜应该就可以，而且理论上时间更优 QAQ

看到“恰好”，我的想法是用能匹配K个串的数目减去能匹配(K+1)个串的数目，定义f[i][j]为和集合j中字符串匹配的字符串数目。因为没想到预处理……

我想用容斥原理，然后走上了推导数学公式（手动打表找规律）的不归路，方法是用容斥原理暴力地展开，用对称性简化计算。

现在，我们问题是：用交集的元素数目表示在n个集合中出现k次的元素数目/恰在n个集合出现k次的元素数目。

前者没有发现明显的规律，计算后者各个项的系数时出现了正整数、三角形数的前几项。画出Pascal三角形，归纳出以下公式：

|⋃1≤j1<j2<⋯<ji≤nAj1∩Aj2∩⋯∩Ajk|=∑i=kn(−1)i−kCki∑1≤j1<j2<⋯<ji≤n|Aj1∩Aj2∩⋯∩Aji|

然后莫名地AC了……

时间复杂度O(L2n)。

先留个坑，有空来证。

#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef long long ll;const int MAX_N = 15, MAX_L = 50, M = 1000003;char s[MAX_N][MAX_L+2], g[MAX_L+1][1<<MAX_N];int N, K, f[MAX_L+1][1<<MAX_N], C[MAX_N+1][MAX_N+1], t[MAX_N+1];template<typename T>inline int count(T x){    const static int c[] = {0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4};    int ans = 0;    for (int i = 0; i < sizeof(T)*2; ++i, x >>= 4)        ans += c[x & 0xf];    return ans;}inline int log2(int x){    int r = 0;    const static int mask[] = {0xff00, 0xf0, 0xc, 0x2};    for (int i = 0, a = 8; i < 4; ++i, a >>= 1)        if (x & mask[i]) {            r += a;            x >>= a;        }    return r;}int solve(){    int l = strlen(s[0]+1);    for (int i = 1; i <= l; ++i)        for (int j = 1; j < (1<<N); ++j) {            int b = j & -j, x = j ^ b, k = log2(b);            if (!g[i][x]) {                f[i][j] = g[i][j] = 0;                continue;            }            char c = s[k][i];            if (g[i][x] == '?')                g[i][j] = c;            else if (c == '?')                g[i][j] = g[i][x];            else if (g[i][x] != c) {                f[i][j] = g[i][j] = 0;                continue;            } else                g[i][j] = c;            if (g[i][j] == '?')                f[i][j] = f[i-1][j]*26%M;            else                f[i][j] = f[i-1][j];        }    memset(t, 0, sizeof(t));    for (int i = 1; i < (1<<N); ++i)        t[count(i)] += f[l][i];    int r = 0;    for (int i = K, sgn = 1; i <= N; ++i, sgn *= -1)        (r += (ll) sgn * C[i][K] * t[i] % M + M) %= M;    return r;}int main(){    for (int i = 0; i < (1<<MAX_N); ++i)        f[0][i] = 1;    for (int i = 1; i <= MAX_L; ++i)        g[i][0] = '?';    for (int i = 1; i <= MAX_N; ++i) {        C[i][0] = C[i][i] = 1;        for (int j = 1; j < i; ++j)            C[i][j] = (C[i-1][j-1] + C[i-1][j]) % M;    }    int T;    scanf("%d", &T);    while (T--) {        scanf("%d %d", &N, &K);        for (int i = 0; i < N; ++i)            scanf("%s", s[i]+1);        printf("%d\n", solve());    }    return 0;}