数据结构（十五）二叉树

二叉树的定义

二叉树：n个结点的有限集合，该集合或者为空集，，或者有一个根结点和两棵互不相交的，分别成为根结点和两棵互不相交的，分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成.

 

二叉树特点：

每个结点最多有两颗子树。

左右子树有顺序，次序不能颠倒。

即使树中某结点只有一颗子树，也要区分它是左子树还是右子树。

 

特殊二叉树

1.      斜树 左斜树：所有结点都只有左子树

       右斜树：所有结点都只有右斜树

2.      满二叉树 ：所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。

3.      完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i(1<i<n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵树称为完全二叉树。

例：

 

二叉树的性质

1.      在二叉树的第i层层上至多有2^i-1 个结点

2.      深度为k的二叉树至多有2^k – 1 个结点

3.      对任何一颗二叉树T，如果其终端结点数为n0,度为2的结点数为n2,则n0 = n2 + 1

4.      具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n] + 1

5.      如果对一颗有n个结点的完全二叉树（深度为[log2n] + 1）的结点按层序编号，对任一结点i有：

i = 1 根结点，无双亲

i > 1 双亲是结点[i / 2]

2i > n, 无左孩子 2i + 1 > n 结点i无右孩子

 

 

二叉树的存储结构

1.      完全二叉树的顺序存储

2.      二叉链表

 

二叉树的遍历：从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

遍历方法：

1.      前序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，在前序遍历右子树。

2.      中序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（并不先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树。

3.      后序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后访问根结点

4.      层序遍历：若二叉树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根节点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。