洛谷 P1268 树的重量

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：

1．叶节点属于集合N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入输出格式

输入格式：
输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2 < n < 30)。其后n-l行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式：
对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

输入输出样例

输入样例#1：
5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0
输出样例#1：
15
71

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【分析】

构造+枚举

以下转自洛谷题解

锻炼思维的好题，需要运用一些树的性质。以下用g(i,j)表示点i与点j之间的距离。

首先，我们考虑n=2时的情况，很显然答案就是g(1,2)。

接下来考虑n=3时的情况。由于所有点均为叶子节点，很显然点3是从点1到点2的路径上分叉出来的，就像下图。

设蓝色部分长度为len，那么答案就是g(1,2)+len。len怎么求呢？显然，len = (g(1,3)+g(2,3)-g(1,2))/2。

n>3的情况也同理。枚举i，看看点n是不是从点1~i的路径上分叉出来的，求出的最小len就是要加到答案里面去的。如下图。

如果认为点4是从1~2的路径上分叉出来的，答案就会加上红色部分的长度。但是红色部分长度显然有一部分是多余的。只有认为点4是从1~3的路径上分叉出来的，才能加上正确答案（也就是蓝色部分）。

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【代码】

//树的重量 #include<iostream>#include<queue>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<algorithm>#define ll long long#define M(a) memset(a,0,sizeof a)#define fo(i,j,k) for(i=j;i<=k;i++)using namespace std;int a[35][35];int n;int main(){    int i,j,k,ans;    while(~scanf("%d",&n) && n)    {        ans=0;        fo(i,1,n-1)          fo(j,i+1,n)            scanf("%d",&a[i][j]),a[j][i]=a[i][j];        ans=a[1][2];        fo(i,3,n)        {            int mn=1e9;            fo(k,1,i)              fo(j,k+1,i-1)                mn=min(mn,(a[1][i]+a[i][j]-a[1][j])/2);            ans+=mn;        }        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}