【项目1-验证算法2:二叉树构造算法的验证】
来源:互联网 发布:淘宝天猫客服招聘 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 00:19
1.由先序序列和中序序列构造二叉树
- 定理:任何n(n≥0)个不同节点的二叉树,都可由它的中序序列和先序序列唯一地确定。
- 证明(数学归纳法)
基础:当n=0时,二叉树为空,结论正确。
假设:设节点数小于n的任何二叉树,都可以由其先序序列和中序序列唯一地确定。
归纳:已知某棵二叉树具有n(n>0)个不同节点,其先序序列是a0a1…an−1 ;中序序列是b0b1…bk−1bkbk+1…bn−1 。- 先序遍历“根-左-右”,
a0 必定是二叉树的根节点 a0 必然在中序序列中出现,设在中序序列中必有某个bk(0≤k≤n−1) 就是根节点a0 。- 由于
bk 是根节点,中序遍历“左-根-右”,故中序序列中b0b1…bk−1 必是根节点bk(a0) 左子树的中序序列,即bk 的左子树有k个节点,bk+1…bn−1 必是根节点bk(a0) 右子树的中序序列,即bk 的右子树有n−k−1 个节点。 - 对应先序序列,紧跟在根节点
a0 之后的k个节点a1…ak 是左子树的先序序列,ak+1…an−1 这n−k−1 就是右子树的先序序列。 - 根据归纳假设,子先序序列
a1…ak 和子中序序列b0b1…bk−1 可以唯一地确定根节点a0 的左子树,而先序序列ak+1…an−1 和子中序序列bk+1…bn−1 可以唯一地确定根节点a0 的右子树。 - 综上所述,这棵二叉树的根节点己经确定,而且其左、右子树都唯一地确定了,所以整个二叉树也就唯一地确定了。
- 先序遍历“根-左-右”,
例
根据定理的证明,写出下面的算法。
品味:以上构造性证明是突出体现计算机科学的案例。计算机学科的精髓就在于制造,即使在“理论性”味道的定理中,其证明过程,给出的就是“存在的这么一个东西”的构造方法。
btree.h 头文件详见二叉树算法库
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"BTNode *CreateBT1(char *pre,char *in,int n)/*pre存放先序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数,本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/{ BTNode *s; char *p; int k; if (n<=0) return NULL; s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建二叉树结点*s s->data=*pre; for (p=in; p<in+n; p++) //在中序序列中找等于*ppos的位置k if (*p==*pre) //pre指向根结点 break; //在in中找到后退出循环 k=p-in; //确定根结点在in中的位置 s->lchild=CreateBT1(pre+1,in,k); //递归构造左子树 s->rchild=CreateBT1(pre+k+1,p+1,n-k-1); //递归构造右子树 return s;}int main(){ ElemType pre[]="ABDGCEF",in[]="DGBAECF"; BTNode *b1; b1=CreateBT1(pre,in,7); printf("b1:"); DispBTNode(b1); printf("\n"); return 0;}
运行结果:2.由后序序列和中序序列构造二叉树
- 定理:任何n(n>0)个不同节点的二叉树,都可由它的中序序列和后序序列唯一地确定。
- 证明:(略)
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"BTNode *CreateBT2(char *post,char *in,int n)/*post存放后序序列,in存放中序序列,n为二叉树结点个数,本算法执行后返回构造的二叉链的根结点指针*/{ BTNode *s; char r,*p; int k; if (n<=0) return NULL; r=*(post+n-1); //根结点值 s=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建二叉树结点*s s->data=r; for (p=in; p<in+n; p++) //在in中查找根结点 if (*p==r) break; k=p-in; //k为根结点在in中的下标 s->lchild=CreateBT2(post,in,k); //递归构造左子树 s->rchild=CreateBT2(post+k,p+1,n-k-1); //递归构造右子树 return s;}int main(){ ElemType in[]="DGBAECF",post[]="GDBEFCA"; BTNode *b2; b2=CreateBT2(post,in,7); printf("b2:"); DispBTNode(b2); printf("\n"); return 0;}
- 3.由顺序存储结构转为二叉链存储结构
- btree.h详见二叉树算法库
#include <stdio.h>#include <malloc.h>#include "btree.h"#define N 30typedef ElemType SqBTree[N];BTNode *trans(SqBTree a,int i){ BTNode *b; if (i>N) return(NULL); if (a[i]=='#') return(NULL); //当节点不存在时返回NULL b=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //创建根节点 b->data=a[i]; b->lchild=trans(a,2*i); //递归创建左子树 b->rchild=trans(a,2*i+1); //递归创建右子树 return(b); //返回根节点}int main(){ BTNode *b; ElemType s[]="0ABCD#EF#G####################"; b=trans(s,1); printf("b:"); DispBTNode(b); printf("\n"); return 0;}
运行结果:
0 0
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