一点数学知识

公约数性质：若两个数a,b的公约数为d,则d|a,d|b；
进而有 d|(a+b),d|(a−b)
=> 对于任意整数x,y有 d|(ax+by)
且若a|b,那么|a|≤|b|，或b=0,则a|b且b|a => a=±b
最大公约数性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)=gcd(−a,b)=gcd(|a|,|b|)
gcd(a,0)=|a|，gcd(a,ka)=|a|(k∈Z)
gcd(a,gcd(a,b))=gcd(gcd(a,b),c)
推论：gcd(an,bn)=ngcd(a,b)
[欧几里得算法和扩展欧几里得算法实施的必要基础]

素数小理：对于任意整数a、b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1

---

模相关

若a>b>0，且c=a+b，则c mod a=b
对所有整数a、b和素数p，有(a+b)p≡ap+bp (mod p)
若a和b是任意正整数，且满足a|b，则对任意x，(x mod b) mod a=x mod a；对任意的x和y，如果x≡y (mod b)，x≡y (mod a)
若a≡a′ (mod n)，b≡b′ (mod n)，则a+b≡a′+b′ (mod n)，ab≡a′b′ (mod n)
费马小定理 : p为质数,gcd(a,p)=1时，ap−1=1(mod p)
欧拉定理：若p,a为正整数，且p,a互质，即gcd(a,p)=1，则aφ(n)≡1(mod n)。
[欧拉定理可以算是费马小定理的扩充]

---

∑i=1ni2=i+(i+1)+(2∗i+1)6

∑i=1ni3=n(n+1)222

均值不等式：a+b≥2ab−−√，当且仅当a=b时取等；
柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，即两向量模积的平方大于等于点积的平方
绝对值不等式：|a+b|≤|a|+|b|

平均值不等式：∑ni=1ain≥∏i=1nai−−−−√n,当且仅当ai都相等时等号成立

排序不等式：∑i=1n|xi|≥|∑i=1nxi|

二项式定理：（x+a）n=∑k=0n(nk)xkan−k