JZOJ4888【NOIP2016提高A组集训第14场11.12】最近公共祖先

Description

YJC最近在学习树的有关知识。今天，他遇到了这么一个概念：最近公共祖先。对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。YJC很聪明，他很快就学会了如何求最近公共祖先。他现在想寻找最近公共祖先有什么性质，于是他提出了这样的一个问题：n层的满k叉树T，求对于每一对(i,j)(1≤i,j≤T的点数)，LCA(T,i,j)的深度的和是多少。这个数字n层的满k叉树指一棵带标号的有根树，深度为i(0≤i<n)的点有k^i个，所有深度≠n-1的点都有k个孩子。YJC发现他不会做了，于是他来问你这个问题的答案。这个答案可能很大，你只需要告诉他答案%998244353的值就可以了。

Solution

我们设f[i]表示i层k叉数的数量，则f[i]=ki−1k−1那么我们发现ans=∑n−1i=0(f[n−i+1]2−k∗f[n−i]2)∗i∗ki,代入得ans=∑n−1i=0(kn−i+1−1k−12−k∗kn−i−1k−12)∗i∗ki化简一下就得到ans=∑n−1i=0i∗ki−i∗k2∗n−i+11−k,ans=∑n−1i=0i∗ki−i∗k2∗n−i+11−k我们知道∑n−1i=0i∗ki=n∗∑n−1i=0ki−∑ni=1∑i−1j=0kj,我们将i∗k2∗n−i+1视为i∗k2∗n+1∗(1k)i所以将式子代入得k2n−k−(2n−1)kn(k−1)(k−1)3。所以算法复杂度为O(logN).

Code

#include<iostream>#include<cmath>#include<cstring>#include<cstdio>#include<algorithm>#define ll long longusing namespace std;const ll maxn=1000005,mo=998244353;ll f[maxn],n,i,t,j,k,l,m,ans,x;ll sqr(ll x){    return x*x%mo;}int main(){    freopen("lca.in","r",stdin);freopen("lca.out","w",stdout);    scanf("%lld%lld",&n,&k);    f[1]=1;ans=0;n--;    for (i=2;i<=n+1;i++)        f[i]=(f[i-1]*k+1)%mo;    x=1;    for (i=0;i<=n;i++){        t=x*((sqr(f[n-i+1])-k*sqr(f[n-i])%mo+mo)%mo)%mo;        ans=(ans+t*i%mo)%mo;        x=x*k%mo;    }    printf("%lld\n",ans);}