CFF-有趣的数-详解

题目

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入格式

输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000)。
输出格式

输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。

样例输入
4
样例输出
3

分析

因为数字只包含0,1,2,3，且0必然在1前，2必然在3前，然而0不可能在第一位，所以只有2出现在第一位。然后其他状态都是有该状态衍生出来的状态。

下边我们按照下图分析

a，按照规则，2后边可以跟3或者0，因为0还未出现，所以不可以
为1.

b, 02状态可以由2状态添加0到达，也可以由02状态，添加0或2到达。
因为0,2没有关系。可以存在以下两种情况。比如数字 222000，或22022

c，23状态可以由2状态添加3到达，也可以有23添加3到达。因为3必须在2之后，所以只能添加3。比如数字22333，或者2233333.

d，012可以有02状态添加1到达。也可以由012添加1或2到达。

e，023可以由02添加3到达，亦可由23添加0到达。亦可由023到达。

f，0123可以由012添加3到达，也可由023添加1到达。也可由0123添加1或3到达。

由分析可以得到以下动态规划方程

设dp[i][j] 0 <= j <= 5表示，经过i步，处于j状态的数量。

a: dp[i][0] = dp[i-1][0];b: dp[i][1] = dp[i-1][0]+dp[i-1][1]*2;c: dp[i][2] = dp[i-1][0]+dp[i-1][2];d: dp[i][3] = dp[i-1][1]+dp[i-1][3]*2;e: dp[i][4] = dp[i-1][1]+dp[i-1][2]+dp[i-1][4]*2;f: dp[i][5] = dp[i-1][3]+dp[i-1][4]+dp[i-1][5]*2;

代码

#include <iostream>#include <vector>#define MOD 1000000007using namespace std;class Solution{public:    int FunNum(int n){        vector<vector<long int> > dp;        for(int i = 0; i < n ; i++){            vector<long int> tmp(6,0);            dp.push_back(tmp);        }        dp[0][0] = 1;        for(int i = 1; i < n; i++){            dp[i][0] = dp[i-1][0];            dp[i][1] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][1]*2)%MOD;            dp[i][2] = (dp[i-1][0] + dp[i-1][2])%MOD;            dp[i][3] = (dp[i-1][1] + dp[i-1][3]*2)%MOD;            dp[i][4] = (dp[i-1][1]+ dp[i-1][2] + dp[i-1][4]*2)%MOD;            dp[i][5] = (dp[i-1][3] + dp[i-1][4] + dp[i-1][5]*2)%MOD;        }        return dp[n-1][5]%MOD;    }};int main(){    int n = 0;    cin >> n;    Solution S;    cout << S.FunNum(n) <<endl;    return 0;}

总结

1，该题是一道典型的动态规划问题。通过状态机的跳转，表示状态之间的跳转。

2，代码很简单，重要的是理解思路和抽象问题。