排列组合,递推,记忆化搜索(葛伦堡博物馆,LA 4123)
来源:互联网 发布:装修公司 施工队 知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/17 20:53
就是容易发现一共有numo=(n-4)/2个O,一共有numr=(n+4)/2个R。然后不能有两个O连在一起,头和尾同时为O也不行。就是插空法啦。现在C(numr+1,numo)-C(numr-1,numo-2)。意思是numr+1个空里选numo个减去numr-1个空里选numo-2个。即随便插空减去头和尾都是O的情况。由于(numr-numo)<5所以组合数不会很大,long long完全够用。然后n<4以及奇数的情况直接输出0就好了。
书上用的是递推,记忆化搜索。虽然麻烦但是有助于锻炼思维。
题目有一个隐含条件:不能有两个O连在一起 <==> 一定有4个R连在一起(头和尾也算连在一起)。
第一个方法是利用: 不能有两个O连在一起。
定义状态dp[i][j][p][q]。表示有i个R,j个O,头是p,尾是q。(0表示R,1表示O)。
这样就有状态转移方程
当q=1时dp[i][j][p][1]=dp[i][j-1][p][0]。表示如果最后一位是O那么只能由最后一位是R转移过来。
当q=0时dp[i][j][p][0]=dp[i-1][j][p][0]+dp[i-1][j][p][1]。表示如果最后一位是R,就能由最后一位是O或者R转移过来。
由于|i-j|<5,所以可以剪枝,直接返回0。
而递归边界就是dp[1][0][0][0]=dp[0][1][1][1]=1。以及(i<0||j<0)时直接返回0。
答案就是dp[numr][numo][0][0]+dp[numr][numo][1][0]+dp[numr][numo][0][1]。
由于有剪枝所以时间复杂度为O(n)。
第二个方法是利用: 一定有4个R连在一起。(我们知道头和尾连在一起也算,但是编程时这种情况当成只有3个R连在一起,具体情况如下)
定义状态dp[i][j][k]。表示有i个R,j对R,头是k,尾是R。
这样就有状态转移方程dp[i][j][k]=dp[i-1][j][k]+dp[i-1][j-1][k]。其中第一项表示在末尾添加OR,第二项表示在末尾添加R。
而递归边界就是dp[1][0][0]=dp[1][0][1]=1。分别表示OR和R。以及(i<0||j<0)时直接返回0。
答案就是dp[numr][4][0]+dp[numr][4][1]+dp[numr][3][0]。分别表示(头是R,尾是O),(头是O,尾是R),(头尾都是R)。
两个方法都可以用记忆化搜索来实现。
排列组合
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll L,kase;ll C(ll m,ll n){ n=min(n,m-n); ll ans=1; for(ll i=0;i<n;i++) ans*=(m-i); for(ll i=1;i<=n;i++) ans/=i; return ans;}ll solve(ll num){ if(num<4||num&1) return 0; if(num==4) return 1; if(num==6) return 6; ll numo=(num-4)/2; ll numr=num-numo; return C(numr+1,numo)-C(numr-1,numo-2);}int main(){ while(scanf("%lld",&L)==1&&L) printf("Case %lld: %lld\n",++kase,solve(L)); return 0;}
方法一:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll L,kase;ll dp[1010][1010][2][2];ll f(ll n1,ll n2,ll p,ll q){ ll& ans=dp[n1][n2][p][q]; if(ans!=-1) return ans; if(q==1) return ans=!n2?0:f(n1,n2-1,p,0); else return ans=!n1?0:f(n1-1,n2,p,0)+f(n1-1,n2,p,1);}ll solve(ll num){ if(num<4||num&1) return 0; ll numo=(num-4)/2; ll numr=(num+4)/2; return f(numr,numo,0,0)+f(numr,numo,1,0)+f(numr,numo,0,1);}int main(){ memset(dp,-1,sizeof(dp)); dp[1][0][0][0]=dp[0][1][1][1]=1; while(scanf("%lld",&L)==1&&L) printf("Case %lld: %lld\n",++kase,solve(L)); return 0;}
方法二:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;ll L,kase;ll dp[1010][1010][2][2];ll f(ll n1,ll n2,ll p,ll q){ ll& ans=dp[n1][n2][p][q]; if(ans!=-1) return ans; if(abs(n1-n2)>5) return ans=0; if(q==1) return ans=!n2?0:f(n1,n2-1,p,0); else return ans=!n1?0:f(n1-1,n2,p,0)+f(n1-1,n2,p,1);}ll solve(ll num){ if(num<4||num&1) return 0; ll numo=(num-4)/2; ll numr=(num+4)/2; return f(numr,numo,0,0)+f(numr,numo,1,0)+f(numr,numo,0,1);}int main(){ memset(dp,-1,sizeof(dp)); dp[1][0][0][0]=dp[0][1][1][1]=1; while(scanf("%lld",&L)==1&&L) printf("Case %lld: %lld\n",++kase,solve(L)); return 0;}
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