算法学习系列之求最大公约数

特别说明：本文参考学习于Java语言程序设计进阶篇—Y.Daniel Liang著一书
欢迎大家一起学习交流，希望程序的世界有你相伴

题目

给定两个大于0的实数，求出他们的最大公约数。

解法

方法1

求两个数的最大公约数，不妨可以从1开始，判断1是否能被m,n整除，如果整除则1是m,n的约数，同理进行2，3，··· max(m,n)。最后在这些约数之间选出最大的那个（实际上，就是最后一个约数，因为1，2，···是递增的）。代码实现如下：

    public static int gcd(int m, int n) {        int gcd = 1;        for (int k = 2; k <= m && k <= n; k++) {            if (m % k == 0 && n % k == 0)                gcd = k;        }        return gcd;    }

时间复杂度

假设m>=n，很显然该算法的时间复杂度为O(n)。

优化

我们在写完算法的同时，还应有再思考一下，是否有更好的实现，毕竟没有一个程序是完美的，都是走在完美的路上。本方法是从1开始向上寻找约数。那么我们是否可以逆向思维，从上到下的去寻找最大公约数呢？

方法2

首先，我们求出m,n的最小值，不妨设之为n，那么从n开始判断是否能同时被n,m整除，如果能整除，那么n就是最大公约数（因为此时数列是递减的），否则判断n-1，···，1。代码实现如下：

    public static int gcd(int m, int n) {        int gcd = Math.min(m, n);        while (gcd > 0) {            if (n % gcd == 0 && m % gcd == 0) {                break;            }            gcd--;        }        return gcd;    }

时间复杂度

这个算法比前一个效率更高，但是它的最坏情况的时间复杂度依旧是O(n)。

优化

我们再仔细想想，还能不能有更好的算法，我们的计算是否还存在多余的部分。在整除里面，数字n的除数不可能比n/2大，因此我们可以利用该性质，继续优化我们的算法。

方法3

首先，我们求出m,n的最小值，不妨设之为n，我们首先判断n是否为n,m的最大公约数，如果相等，直接返回n。不相等的话，我们从n/2开始判断，之后判断n/2-1，···1。代码实现如下：

    public static int gcd(int m, int n) {        int gcd = Math.min(m, n);        if (n % gcd == 0 && m % gcd == 0) return gcd;        for (int k = gcd / 2; k >= 1; k--) {            if (n % k == 0 && m % k == 0) break;            gcd = k - 1;        }        return gcd;    }

时间复杂度

易知该算法的时间复杂度还是O(n)，但是也很容易的证明，该算法虽然时间复杂度和前两种一样，但是它的运算效率要比前两种高得多。

方法4

其实，求最大公约数的一个更有效的算法是在公元前300年左右由欧几里得发现的，这是最古老的著名算法之一。它可以递归地定义为：
用gcd(m,n)表示整数m,n的最大公约数：
- 如果m%n为0，那么gcd(m,n)为n。
- 否则，gcm(m,n)就是gcm(n,m%n)

不难证明这个算法的正确性。假设m%n=r，那么，m=qn+r，这里的q是m/n的商。能整除m和n的任意数字都必定也能整除r。因此gcd(m,n)和gcd(n,r)是一样的。其中r=m%n。该算法的实现如下：

    public static int gcd(int m, int n) {        if (m < n) {            int temp = n;            n = m;            m = temp;        }        if (m % n == 0) return n;        else return gcd(n, m % n);    }

时间复杂度

我们可以证明最坏的情况的时间复杂度O(logn)
假设m>=n，我们可以证明m%n