分治算法
来源:互联网 发布:淘宝火锅底料哪个好吃 编辑:程序博客网 时间:2024/06/11 01:42
一、基本概念
在计算机科学中,分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是:将一个难以直接解决的大问题,分割成一些规模较小的相同问题,以便各个击破,分而治之。
分治策略是:对于一个规模为n的问题,若该问题可以容易地解决(比如说规模n较小)则直接解决,否则将其分解为k个规模较小的子问题,这些子问题互相独立且与原问题形式相同,递归地解这些子问题,然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题,1<k≤n,
且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解,那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式,这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下,反复应用分治手段,可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小,最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟,经常同时应用在算法设计之中,并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征:
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题,即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解;
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的,即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的,因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加;
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的,此特征反映了递归思想的应用;、
第三条特征是关键,能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征,如果具备了第一条和第二条特征,而不具备第三条特征,(不能进行合并)则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率,如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作,重复地解公共的子问题,此时虽然可用分治法,但一般用动态规划法较好。
四、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
step1 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题;
step2 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
step3 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下:
Divide-and-Conquer(P)
if |P|≤n0
then return(ADHOC(P))
将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
for i←1 to k
do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
return(T)
其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
五、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n/m的子问题去解。设分解阀值n0=1,且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间,则有:
T(n)= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解:
递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值,但是如果认为T(n)足够平滑,那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的,从而当mi≤n<mi+1
时,T(mi)≤T(n)<T(mi+1)
。
六、可使用分治法求解的一些经典问题
(1)二分搜索
(2)大整数乘法
(3)Strassen矩阵乘法
(4)棋盘覆盖
(5)归并排序
(6)快速排序
(7)线性时间选择
(8)最接近点对问题
(9)循环赛日程表
(10)汉诺塔
七、依据分治法设计程序时的思维过程
实际上就是类似于数学归纳法,找到解决本问题的求解方程公式,然后根据方程公式设计递归程序。
1、一定是先找到最小问题规模时的求解方法
2、然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
3、找到求解的递归函数式后(各种规模或因子),设计递归程序即可。
下面通过归并排序和快速排序示例。
归并排序:归并(Merge)排序法是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有序表,即把待排序序列分为若干个子序列,每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。 即先划分为两个部分,最后进行合并。
public class 归并排序 { /** * 基本排序:归并(Merge)排序法是将两个(或两个以上)有序表合并成一个新的有 序表,即把待排序序列分为若干个子序列,每个子序列是有序的。然后再把有序子序列合并为整体有序序列。 先划分为两个部分,再进行合并 * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56}; sort(a, 0, a.length-1); for(int i = 0; i < a.length; i++) { System.out.print(a[i]+" "); } System.out.println(); } public static void sort(int[] data, int left, int right) { //划分为两个部分,在进行合并求解 if(left < right) { int center = (left+right)/2;//先取中界 sort(data, left, center); sort(data, center+1, right); //合并 merge(data, left, center, right); } } public static void merge(int[] data, int left, int center, int right) { int[] tempArr = new int[data.length]; int mid = center+1; int third = left;//记录中间数组的索引 int temp = left; while(left <= center && mid <= right) { if(data[left] <= data[mid]) { tempArr[third++] = data[left++]; } else { tempArr[third++] = data[mid++]; } } while(mid <= right) { tempArr[third++] = data[mid++]; } while(left <= center) { tempArr[third++] = data[left++]; } while(temp <= right) { data[temp] = tempArr[temp++]; } }}
快速排序:先选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素,通过一趟扫描,将待排序列分成两部分,一部分比基准元素小,一部分大于等于基准元素,此时基准元素在其排好序后的正确位置,然后再用同样的方法递归地排序划分的两部分。
public class 快速排序 { /** * @param args * 基本思想:选择一个基准元素,通常选择第一个元素或者最后一个元素,通过一趟扫描, 将待排序列分成两部分,一部分比基准元素小,一部分大于等于基准元素,此时基准元素在其 排好序后的正确位置,然后再用同样的方法递归地排序划分的两部分。 */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int a[]={49,38,65,97,76,13,27,49,78,34,12,64,5,4,62,99,98,54,56,17,18,23}; if(a.length > 0) { quickSort(a, 0, a.length-1); } for(int i = 0; i < a.length; i++) { System.out.print(a[i]+" "); } System.out.println(); } public static void quickSort(int[] list, int low, int high) { if(low < high) { int middle = getMiddle(list, low, high); quickSort(list, low, middle-1); quickSort(list, middle+1, high); } } public static int getMiddle(int[] list, int low, int high) { int temp = list[low]; while(low < high) { while(low < high && list[high] >= temp) { high--; } list[low] = list[high];//比中轴小的记录移到低端 while(low < high && list[low] <= temp) { low++; } list[high] = list[low];//比中轴大的记录移到高端 } list[low] = temp; //中轴记录到尾 return low; //返回中轴的位置 }}
http://blog.csdn.net/ydx115600497/article/details/53171790
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