codevs1213 解的个数-----------数论/扩展欧几里得

原题地址

http://codevs.cn/problem/1213/

 

题目描述 Description

已知整数x,y满足如下面的条件:

 

ax+by+c = 0

p<=x<=q

r<=y<=s

 

求满足这些条件的x,y的个数。

输入描述 Input Description

第一行有一个整数n（n<=10），表示有n个任务。n<=10

以下有n行，每行有7个整数，分别为：a,b,c,p,q,r,s。均不超过10⁸。

输出描述 Output Description

共n行，第i行是第i个任务的解的个数。

样例输入 Sample Input

2

2 3 -7 0 10 0 10

1 1 1 -10 10 -99

样例输出 Sample Output

1

19

 

一道扩欧定理的应用题，问题是数据神TM坑啊……

解题思路

1.首先我们可以很直观地看出来这是用扩展欧几里得算法解二元一次方程，但问题是我们所熟悉的扩欧能解的方程都是ax+by=gcd(a,b)形式的，而题目给出的是ax+by=-c形式。举个例子：

2x+4y=18，首先我们可以换成x+2y=9形式。9不是2和4的最大公约数1，但9是1的倍数，所以如果我们解出一组x,y满足x+2y=1，那么x和y都乘上9/1就是原方程的一组解了。如果c/gcd(a,b)==0，那么就没有整数解。

2.如今我们得到了一组x,y，根据扩欧定理的后续内容，适合的解系一定是(x+bk,y-ak)，注意现在的a,b是简化后的方程的系数（拿上面提到的例子讲，现在a=1,b=2），枚举找在区间内的解的个数（组数）就好。

3.现在解决各种WA/TLE/RE问题：

（1）方程无解：c/gcd(a,b)==0，直接输出0；

（2）区间不合法：题目中没有保证区间左端点小于右端点，所以如果读入的区间不合法，直接输出0；

（3）a=0或b=0：

if((a==0)&&(y<r||y>s)) {printf("0\n");continue;}

     if((b==0)&&(x<p||x>q)) {printf("0\n");continue;}

因为不管加多少，x/y还是原来的味道……但是如果不加特判可能会导致TLE（这个跟代码具体的写法有关，我后面有用while循环，直接卡T了）

（4）a==0&&b==0：

RE的关键所在，因为gcd求出来是0……这个需要认真思考一下，如果c!=0，显然方程不成立，无解；如果c==0，x和y就可以任意取了，由乘法原理可得解的个数就是两个区间内部整数点的个数的乘积

if (c!=0)printf("0\n");

else

{

    ll cnt=(q-p+1)*(s-r+1);

    printf("%lld\n",cnt);

}         

continue;

（5）记得要开long long

两个神坑的数据点：

4

0 1 2 0 0 0 2

1 0 2 0 0 0 0

1 0 2 0 2 0 20

2 0 3 -10 10 -10 10

ans：0   0   0   0

4

0 0 0 -1 1 -1 1

0 0 0 1 -1 1 2

0 0 1 1 1 1 1

0 0 0 -3406792423987599 -23487749 23947250

ans：9   0   0   2753863780940000

参考代码：

#include<iostream>#include<cmath>#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#define ll long longusing namespace std;ll a,b,c,p,q,r,s,x,y; ll gcd(ll x,ll y){    while (y)    {       int t=y;       y=x%y;       x=t;    }    return x;} void exgcd(ll a,llb,ll&x,ll&y){    if (b==0){x=1;y=0;return;}    exgcd(b,a%b,y,x);    y=y-a/b*x;} int main(){    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {       scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&p,&q,&r,&s);         int g=gcd(a,b);       if (q<p||s<r)       {           printf("0\n");           continue;       }        if(g==0)       {          if (c!=0)printf("0\n");           else           {              ll cnt=(q-p+1)*(s-r+1);              printf("%lld\n",cnt);           }                    continue;       }       ll tmp=c*(-1)/g;       exgcd(a,b,x,y);       if(c%g!=0)        {            printf("0\n");            continue;        }       x*=tmp;       y*=tmp;       a/=g;       b/=g;       if(b<0) {b*=(-1);a*=(-1);}       if ((a==0)&&(y<r||y>s)){printf("0\n");continue;}       if ((b==0)&&(x<p||x>q)){printf("0\n");continue;}       while (x>=p)  //先把x调到最左端；        {           x-=b;           y+=a;        }       int cnt=0;        while(x<p)        {           x+=b;           y-=a;        }       while(x>=p&&x<=q&&y>=r&&y<=s)  //枚举区间内所有可行解；        {           cnt++;           x+=b;           y-=a;           if (x<p||x>q||y<r||y>s) break;          }            cout<<cnt<<endl;    }    return 0;}