连续型切片与离散加减的思路学习

连续型切片与离散加减的思路学习

@(微积分)

思考一道1999年的习题。

设f(x)是区间[0,+∞)上单调递减且非负的连续函数。an=∑nk=1f(k)−∫n1f(x)dx,n=1,2,3,...
证明数列{an}极限存在。

分析：任何数列极限，函数极限存在的证明，首先先奔着一个黄金原则去想：单调有界准则。
通过这个准则可以很好考察数学素养。

比如这道，上来，我们先看数列是不是具有单调性。

an+1−an=∑k=1n+1f(k)−∫n+11f(x)dx−∑k=1nf(k)+∫n1f(x)dx=f(n+1)−∫n+1nf(x)dx,用一次积分中值定理=f(n+1)−f(ϵ),ϵ∈(n,n+1)<0,因为f(x)单减

所以很容易证得数列单调递减，于是想到要去找下界。

如何找？看题目的特点。一个是离散的加和，一个是积分的连续。如果可以一起加减，就指示我们去把积分拆成一片一片的。

首先：
∫n1f(x)dx=∫21f(x)dx+∫32f(x)dx+...+∫nn−1f(x)dx

这每一个都可以用积分中值定理确定一个最大值。

在[k,k+1]上，∫k+1kf(x)dx=f(ϵ)⋅1≤f(k),ϵ∈(k,k+1)

从而，an≥∑nk=1f(k)−∑n−1k=1f(k)=f(n)≥0

所以数列有下界。

综合，可以得到数列极限存在。